关于3023与3024年高考题的整活精选

本篇文章还在施工中, 后续将会更新.

正如标题所示, 这篇文章来自于 UncleBob 在高三和大一时进行的一些整活, 选择了一些钓鱼题组合在一起组合成 “3023年普通高等学校招生全国统一考试” 和 “3024年普通高等学校招生全国统一考试” 的数学试题, 曾仅仅在几个挚友之间分享, 比如 Zhouzi 和 Humeng. UncleBob 觉得这两张卷子还是比较有意思的, 在这里选择一些题目进行分享顺便水一篇文章.

群论背景

1. (3024, T1)魔方是一种很受大众喜欢的玩具. 对于三阶魔方, 固定魔方$6$中心块对魔方进行操作, 魔方可能的状态种类数约为
A.$4. 3\times 10^{17}.$
B.$4. 3\times 10^{19}.$
C.$4. 3\times 10^{21}.$
D.$4. 3\times 10^{23}.$

解析
非常经典的结论, 利用群论与群结构的知识可以知道魔方群$G_0$的群同构

$$G_0\cong (\mathbb{Z} _3^7 \times \mathbb{Z} _2^{11})\rtimes ((A_8 \times A_{12})\rtimes \mathbb{Z} _2)$$

从而有

$$|G_0|=3^7\times 2^{11}\times 8!\times 12!/2=2^{27}\times 3^{14}\times 5^3\times 7^2\times 11\thickapprox 4. 3\times 10^{19}$$

评价 题目的难度自然是比较大的, 但是作为钓鱼题伪装的并不是很好, 综合评价:$1. 5\star$.

2. (3024, T19(3)) [题目来源:几何与对称课程] 对于正$n$边形, 对其所有顶点进行染色, 一共有$m$种可以使用的颜色, 若一种涂色方案的图形进行旋转或进行翻转后能与另一种涂色方案重合, 则这两种涂色方案视为同一种. 求不相同的涂色方案种类数.

解析
主要是利用Burnside引理:

若$G$为有限群,$X$为一集合,$G$作用在$X$上, 则

$$|G\backslash X|=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|x^g|$$

其中$x^g$为$X$在$G$下的的不动点.

记$X$为任意染色构成的集合,$G=\mathfrak{D}_n=\{1, r, \cdots , r^{n-1}, s, sr, \cdots , sr^{n-1} \}$. 对$g$进行讨论:
$g=1$, 那么$|x^g|=m^n$;
$g=r^k$, 那么$|x^g|=m^{(n, k)}$;
$g=sr^k$, 那么$|x^g|= \begin{cases} m^{\frac{n+1}{2}}, n=2l+1\\ m^{\frac{n}{2}}+m^{\frac{n}{2}+1}, n=2l \end{cases}$
则题目所求为

$$|G\backslash X|= \dfrac{1}{ |G| }\sum_{g\in \mathfrak{D}_n }|x^g|= \begin{cases} \frac{1}{2n}(\sum_{k=0}^{n-1}m^{(k, n)}+n\cdot m^{\frac{n+1}{2}}), n=2l+1\\ \frac{1}{2n}(\sum_{k=0}^{n-1}m^{(k, n)}+\frac{n}{2}m^{\frac{n}{2}}+\frac{n}{2} m^{\frac{n}{2}+1}), n=2l \end{cases}$$

评价 题目的难度也是比较大的, 并且作为钓鱼题, 这道题目看似以高中排列组合为背景, 隐藏的非常好, 综合评价:$4. 5\star$.

3. (3023, T17(2))使用尺规作图绘制正十七边形.

解析
需要使用域扩张、Galois基本定理等群论相关知识. 主要难点在于计算出

$$\cos(\frac{2\pi}{17})=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{170-26\sqrt{17}}-4\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}$$

然后我们知道:给定单位长度的线段, 若长度为$x$,$y$的线段可由尺规作图作出, 那么长度为$x+y$,$x-y$的线段可作(显然)、长度为$xy$,$x/y$的线段可做(利用相似三角形相似比$\frac{1}{x}=\frac{x}{xy}$,$\frac{1}{x}=\frac{1/x}{1}$), 长度为$\sqrt{x}$的线段可作(利用直角三角形及其斜边上的高组成的两个相似的直角三角形相似比$\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{x}$), 从而可以作出正十七边形. 这一做法最早由Gauss发现, 绘图过程此处略过.

评价 题目的难度在于计算$\cos(\frac{2\pi}{17})$与画图, 但是高中并不考察尺规作图, 作为中考钓鱼题更加合适, 综合评价:$3\star$.

程序设计

4. (3024, T5)三阶行列式
$\left|\begin{matrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{matrix}\right| =aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi.$
现在已知$\{a, b, c, d, e, f, g, h, i\}=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, 则$\left| \begin{matrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{matrix}\right|$的最大值是
A.$412.$
B.$416.$
C.$420.$
D.$424.$

解析
这道题如果使用计算机将十分容易求解, 但是使用初等方法只能给出上界的一个估计, 不能得到具体的最大值.
参考程序如下:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

// 计算 3x3 矩阵的行列式
int determinant(const vector<int> &mat)
{
    return mat[0] * (mat[4] * mat[8] - mat[5] * mat[7]) 
    - mat[1] * (mat[3] * mat[8] - mat[5] * mat[6]) 
    + mat[2] * (mat[3] * mat[7] - mat[4] * mat[6]);
}

int main()
{
    vector<int> numbers = {1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9};
    int maxDet = INT_MIN; // 初始化为最小整数值

    // 枚举所有 1-9 的全排列
    do
    {
        int det = determinant(numbers);
        if (det > maxDet)
        {
            maxDet = det;
        }
    } while (next_permutation(numbers. begin(),  numbers. end()));

    cout << "最大行列式值为: " << maxDet << endl;
    return 0;
}

输出结果如下:

最大行列式值为: 412

评价 题目无法使用初等方法求解, 题目引入新定义行列式, 伪装度一般, 综合评价:$2. 5\star$.

5. (3024, T6) [来源:程序设计基础] 国际象棋的棋盘大小为$8\times 8$, 国际象棋中皇后(Queen)的攻击范围是沿横向或竖向或对角线方向的任意格内. 现在在棋盘上放置$8$个皇后, 使她们都不在彼此的攻击范围之内(也就是任意两个皇后不在同一行、同一列、同一对角线), 那么符合要求的放置方法数量为
A.$0$.
B.$72$.
C.$80$.
D.$92$.

解析
非常经典的程序设计题, 初等方法并不容易求解.
参考代码如下:

#include <iostream>
using namespace std;

int Num;        // 方案数
int Q[9];       // 8个皇后所占用的行号
bool S[9];      // S[1]~S[8], 当前行是否安全
bool L[17];     // L[2]~L[16], (i-j)对角线是否安全
bool R[17];     // R[2]~R[16], (i+j)对角线是否安全
const int OFFSET = 9;    // 用来统一数组下标范围[2, 3, . . . , 16]

void Try(int col) {
    /// 递归中止条件:所有列均已放上皇后了
    if (col == 9) {
        Num++;

        cout << "方案" << Num << ":";
        for (int k = 1; k <= 8; k++) cout << Q[k] << " ";
        cout << endl;

        return;
    }

    /// 依次尝试当前列的 8 行位置
        /// 依次尝试当前列的 8 行位置
    for (int row = 1; row <= 8; row++) {
        /// 判断拟放置皇后的位置是否安全
        if (!S[row] || !R[col + row] ||
            !L[col - row + OFFSET]) continue;

        /// 记录位置信息(行号)
        Q[col] = row;

        /// 修改三个方向的安全性标记
        S[row] = false;
        L[col - row + OFFSET] = false;
        R[col + row] = false;

        /// 递归尝试放下一列
        Try(col + 1);

        /// 回溯:恢复三个方向原有安全性
        S[row] = true;
        L[col - row + OFFSET] = true;
        R[col + row] = true;
    }

}

int main() {
    Num = 0;
    for (int i = 0; i < 9; i++)  S[i] = true;
    for (int i = 0; i < 17; i++) L[i] = R[i] = true;

    Try(1);     /// 从第1列开始放皇后

    return 0;
}

运行后可得到全部的$92$种方案.

评价 题目使用初等方法同样不易求解, 题目相较于上题隐藏更好, 综合评价:$3. 5\star$.

数论背景

6. (3024, T13) 写出方程$x^3 + y^3 = 68$的任意一组有理解$(x, y)$, 其中$x>y$.

解析 实际上, 分母最小的有理解为

$$(x, y)=\left(\dfrac{2538163}{620505}, -\dfrac{472663}{620505} \right)$$

评价 题目是数论背景下的钓鱼题, 题目隐藏很好, 综合评价:$4\star$.

7. (3023, T15) 写出方程

$$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=4$$

的任意一组正整数解$(x, y, z)$.

解析 实际上, 最小的解为

x = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579
y = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999
z = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036

有关这道经典钓鱼题的详细解答, 可以参考这里.

评价 题目是数论背景下的有名的钓鱼题, 题目知名度太高使得伪装欠佳, 综合评价:$3\star$.