大学物理（2）笔记-电磁学

这篇文章是 UncleBob 的大学物理B（2）电磁学部分的笔记。

Chapter 1 真空中的静电场

1.1 电荷

$e=1.60\times 10^{-19} \mathrm{C}$

1.2 库仑定律与叠加原理

库仑定律：

$$\vec{F}_{21}=k\frac{q_1q_2}{r^2}\hat{r}_{21}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\hat{r}_{21}$$

$\epsilon_0=8.85\times10^{-12}\rm{C^2/(N\cdot m^2)}$为真空的介电常数。

1.3 电场和电场强度

电场强度

$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}$$

$q_0$为正试验电荷。

电场的叠加原理

$$\vec{E}=\sum_{i=1}^N \vec{E}_i$$

1.4 静止的点电荷的电场及其叠加

静止的点电荷电场

$$\vec{E}=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat{r}$$

1.5 电场线和电通量

电通量

$$\Phi_e=\vec{E}\cdot \vec{S}$$

1.6 高斯定理

在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面（称为高斯面）的电通量，等于该曲面所包围电量的代数和除以$\epsilon_0$，即

$$\Phi_e=\oiint_{(S)} \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{\sum q_{内}}{\epsilon_0}$$

无限长均匀带电细棒的场强

$$E=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 x}$$

无限大均匀带电平面的场强

$$E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$$

1.7 利用高斯定理求静电场的分布

球层外的电场与全部电荷$q$集中在球心的点电荷的场强一样，球层内的空腔中没有电场。

1.8 静电场的保守性

任意点电荷系或连续带电体的静电场是保守力场。静电场有源无旋。

静电场的环路定理

$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$$

1.9 电势差和电势

电势差：把一个单位正电荷从静电场中P1点移到P2点，电场力作的功等于P1点到P2点电势的减量，即

$$A_{12}=\int_{p_1}^{p_2}\vec{E} \cdot d\vec{l}=\phi_1-\phi_2=\phi_{12}$$

P1点的电势，就是P1点与电势零点P0之间的电势差。

$$\phi_1=\phi_{10}=\int_{p_1}^{p_0}\vec{E} \cdot d\vec{l}$$

点电荷$q$的电势分布（无穷远为电势零点）

$$\phi=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r}$$

均匀带电球面在外部空间的电势分布与全部电荷集中在球心的点电荷的电势分布一样，均匀带电球面的内部空间是等电势空间。

1.10 电势叠加原理

$$\phi= \sum_i \phi_i$$

电势零点要选同一个点。

1.11 电势梯度

电势$\phi$在$d\vec{l}$方向上的变化率的负值等于场强$\vec{E}$在$d\vec{l}$方向上的分量，即

$$E_l=-\frac{d\phi}{dl}$$

$$E=-\nabla \phi$$

1.12 电荷在外电场中的静电势能

静电势能

$$W=q_0\phi$$

电场力做的功等于静电势能$W$的减量

$$A_{12}=W_1-W_2$$

1.13 电荷系的静电能

一个带电体系自身的静电势能也叫做“自能”。

一般点电荷系

$$W_{自}=\frac{1}{2}\sum_i q_i\phi_i$$

$\phi_i$是除$q_i$外其他点电荷在$q_i$处的电势。

连续带电体

$$W_{自}=\frac{1}{2}\int_q \phi dq$$

1.14 静电场的能量

电场能量密度

$$w_e=\frac{\epsilon_0 E^2}{2}$$

任何一个带电系统的静电场的总能量为

$$W=\int_{all}w_e dV=\int_{all} \frac{\epsilon_0 E^2}{2} dV$$

带电体的电场能量正好就是带电体的自能（静电能）。

Chapter 2 静电场中的导体

2.1 导体的静电平衡条件

静电平衡状态：导体内部和表面都没有电荷定向移动的状态。
用场强来表述：

$$\vec{E}_内=0,\vec{E}_表\perp 表面$$

用电势来表述：导体是等势体，其表面是等势面。

2.2 静电平衡的导体上的电荷分布

导体内部各处净电荷为零，所带电荷只能分布在表面。

导体表面上各处的面电荷密度与当地表面紧邻处的电场强度的大小成正比。

孤立导体表面各处的面电荷密度与各处表面的曲率有关，曲率越大（越尖）的地方，面电荷密度也越大。

2.3 有导体存在时静电场的分析与计算

2.4 静电屏蔽

2.5* 唯一性定理

静电场唯一性定理
在给定的以导体为边界的区域中，其边界按下列给定时，则区域内的静电场分布和导体表面的电荷分布是唯一确定的：
满足下列任一条件：

1. 给定每个导体的电量；
2. 给定每个导体的电势；
3. 给定一部分导体的电量和另一部分导体的电势(混合条件)。

空间的电场分布和导体的电荷分布就被唯一确定。

只要找出一种解，满足给定的边界条件，它就是该问题的唯一正确解。应用：电像法。

Chapter 3 静电场中的电介质

3.1 电介质对电场的影响

插入电介质后，电压变小

$$U=\frac{U_0}{\epsilon_r}$$

$\epsilon_r >1$称为介质的相对介电常数（相对电容率）。

$$\vec{E}=\frac{\vec{E}_0}{\epsilon_r}$$

3.2 电介质的极化

分子中的正电荷等效中心与负电荷等效中心重合的称为非极性分子。
非极性分子在电场中，正负电荷中心会被拉开一段距离，产生感应电偶极矩$\vec{p}=q\vec{l}$，这称为位移极化。

分子中的正电荷等效中心与负电荷等效中心不重合的称为极性分子。
极性分子在电场中，固有电偶极矩会转向电场的方向，这称为取向极化。

总之，不管哪种电介质，极化机制虽然不同，放到电场中都有极化现象，都会出现极化电荷（也叫面束缚电荷）。

电极化强度

$$\vec{P}=\frac{\sum_i \vec{p}_{i,分子}}{\Delta V}$$

$\vec{E}$不太强时，各向同性电介质内有

$$\vec{P}=\epsilon_0 (\epsilon_r-1)\vec{E}=\epsilon_0 \chi_e \vec{E}$$

$\chi_e=\epsilon_r-1$为电极化率。

电介质表面上极化电荷面密度

$$\sigma' =\vec{P}\cdot \hat{n}$$

电介质体内极化电荷

$$q_{内}'=\oiint_{(S)}\vec{P}\cdot d\vec{S}$$

3.3 有介质时电位移矢量的高斯定律

电位移矢量

$$\vec{D}=\epsilon_0 \vec{E}+\vec{P}$$

高斯定律

$$\oiint_S \vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum q_{0内}$$

当电场有一定对称性时

$$\vec{D}=\epsilon_0 \vec{E}+\vec{P}=\epsilon_0 \vec{E}+\epsilon_0 (\epsilon_r-1)\vec{E}=\epsilon_0 \epsilon_r \vec{E}$$

普遍结论：当电介质充满两个等势面之间的空间时，该空间的场强等于真空时场强的$1/\epsilon_r$倍。

静电场的界面关系

$$D_{1n}=D_{2n},\quad \frac{E_{1n}}{E_{2n}}=\frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}$$

$$E_{1t}=E_{2t},\quad \frac{D_{1n}}{D_{2n}}=\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}$$

$\vec{E}$在界面上有折射

$$\frac{\tan \theta_2}{\tan \theta_1}=\frac{\epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1}}$$

3.4 电容器及其电容

电容

$$C=\frac{Q}{U}$$

单位为法拉$\rm{F}$。

平板电容器

$$C=\frac{\epsilon_0\epsilon_r S}{d}$$

球形电容器

$$C=\frac{4\pi\epsilon_0\epsilon_r R_1R_2}{R_2-R_1}$$

圆柱形电容器

$$C=\frac{2\pi\epsilon_0\epsilon_r L}{\ln (R_2/R_1)}$$

3.5 电容器的能量

电容器充电到$\pm Q$时的能量

$$W_C=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}QU$$

3.6* 铁电体与压电效应

铁电体是一类各向异性的电介质，电极化强度$P$与场强$E$不是线性关系，也不是单值关系。

压电效应铁电体和某些晶体（石英，电气石等）在拉伸或压缩时也会发生极化现象，在某些表面上出现极化电荷。这称为压电效应。

Chapter 4 稳恒电流

4.1 电流的描述

电流强度

$$I=\frac{dq}{dt}$$

电流密度（矢量）：大小：单位时间通过单位垂直面积的电荷量，方向：同正电荷定向运动方向

$$\vec{J}=\frac{dI}{dS_{\perp}}\hat{n}_+$$

电流强度是电流密度的通量。

电流连续性方程

$$\iint_S \vec{J}\cdot d\vec{S}=-\frac{dQ_内}{dt}$$

或

$$\nabla \cdot \vec{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$$

$\rho$为电荷体密度。

4.2 稳恒电流和稳恒电场

节点电流方程（基尔霍夫第一定律）

$$\sum_i I_{i,in}=\sum_i I_{i,ex}$$

回路电压方程(基尔霍夫第二定律)
在稳恒电路中沿任何闭合电路一周其电势降落的代数和等于零。

4.3 欧姆定律

电阻

$$R=\rho \frac{L}{S}$$

$\rho$为电阻率，单位$\rm{\Omega \cdot m}$，
电导

$$G=\frac{1}{R}=\sigma \frac{S}{L}$$

单位$\frac{1}{\rm{\Omega}}=\rm{S}$
$\sigma$为电导率，单位$\frac{1}{\rm{\Omega \cdot m}}$。

欧姆定律微分形式

$$\vec{J}=\sigma\vec{E}$$

焦耳定律的微分形式
热功率密度

$$p=\sigma E^2$$

4.4 电动势

在电源内部，单位正电荷从负极到正极的过程中，非静电力所作的功称为电动势$\mathscr{E}$，即

$$\mathscr{E}=\frac{A_非}{q}=\int \vec{E}_非\cdot d\vec{l}$$

4.5* 接触电动势和温差电现象

两种不同的金属接触时会出现电势差。

把两种金属接成闭合回路，若两个接点A、B处的温度不同，则电路中有电动势，也有电流。

4.6 含源电路欧姆定律

4.7 电容器的充电与放电

充电

$$i=\frac{U_0}{R}e^{-t/\tau},\quad u_c=U_0(1-e^{-t/\tau})$$

放电

$$i=\frac{U_0}{R}e^{-t/\tau},\quad u_c=U_0e^{-t/\tau}$$

时间常数$\tau=RC$。

Chapter 5 磁场和磁力

5.1 磁场的规律

某点磁感应强度数值上等于单位电荷以单位速率通过该点所受的最大磁力。

$$\vec{F}_洛=q\vec{v}\times\vec{B}$$

某点磁感应强度数值上等于单位电流元（单位电流、单位长度）在该处所受的最大安培力。

$$d\vec{F}_安=Id\vec{l}\times \vec{B}$$

某点磁感应强度数值上等于单位磁矩（单位电流、单位面积）在该处所受的最大力矩。

$$\vec{M}=\vec{m}\times \vec{B},\quad \vec{m}=\vec{I}S$$

磁场叠加原理

$$\vec{B}=\sum_i \vec{B}_i$$

磁通量：通过某面积$S$的磁通量等于通过$S$的磁感线的条数，即

$$\Phi=\iint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$$

磁场的高斯定理(磁通连续原理)
在任何磁场中，通过任意封闭曲面的磁通量恒为零，即

$$\oiint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0$$

因此，磁场是散度为零的无源场

$$\mathrm{div}\vec{B}=\nabla\cdot\vec{B}=0$$

毕奥—萨伐尔定律

$$d\vec{B}=\frac{\mu_0Id\vec{l}\times\hat{r}}{4\pi r^2}$$

无限长直电流磁场

$$B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$$

载流长直螺线管内磁场

$$B=\mu_0nI$$

*匀速运动电荷的电场($v\ll c$)

$$\vec{B}=\frac{\mu_0q\vec{v}\times\hat{r}}{4\pi r^2}$$

安培环路定理

$$\oint_L \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 \sum I_内$$

5.2 磁力的规律

洛仑兹力

$$\vec{F}_m=q\vec{v}\times\vec{B}$$

霍耳电势差

$$U_H=\frac{IB}{nbq}$$

磁场对载流导线的作用力（安培力）

$$d\vec{F}=Id\vec{l}\times \vec{B}$$

三个电磁学常量之间的关系

$$c^2=\frac{1}{\mu_0\epsilon_0}$$

Chapter 6 磁场中的磁介质

6.1 磁介质对磁场的影响

介质中

$$B=\mu_r B_0=\mu_r \mu_0 nI=\mu nI$$

(1)抗磁质$\mu_r$略$<1$（铋，热解石墨等）；
(2)顺磁质$\mu_r$略$>1$（氧等）；
(3)铁磁质$\mu_r\gg1$（铁，镍合金等）。

6.2 原子的磁矩

6.3 磁介质的磁化

在外磁场作用下磁介质出现磁性或磁性发生变化的现象称为磁化。
磁化强度

$$\vec{M}=\frac{\sum_i \vec{m}_{i,分子}}{\Delta V}$$

对顺磁质:$\vec{M}$平行于$\vec{B}$；
对抗磁质:$\vec{M}$反平行于$\vec{B}$。

$\vec{B}$不太强时，各向同性磁介质内有

$$\vec{M}=\frac{\mu_r-1}{\mu_0\mu_r}\vec{B}=\chi_m\vec{H}$$

面束缚电流密度

$$\vec{j}'=\vec{M}\times \hat{n}$$

内部磁化电流

$$I'=\oint_L \vec{M}\cdot d\vec{l}$$

6.4 磁场强度的环路定理和磁场边界条件

磁场强度

$$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}$$

$\vec{H}$的环路定理

$$\oint_L \vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum I_{0内}$$

对各向同性介质

$$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_r\mu_0}=\frac{\vec{B}}{\mu}$$

磁场的边界条件（界面关系）

$$H_{1t}=H_{2t},\quad B_{1n}=B_{2n}$$

$$\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}=\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}$$

6.5 铁磁质

6.6 简单磁路

Chapter 7 电磁感应

7.1 法拉第电磁感应定律

楞次定律
感应电流的磁通总是阻止原磁通的变化。

法拉第电磁感应定律
回路中的感应电动势大小和通过回路的磁通量的变化率成正比。

$$\mathscr{E}=-\frac{d\Phi}{dt}$$

全磁通（或磁链）

$$\Psi=\sum_i \Phi_i$$

线圈串联

$$\mathscr{E}=-\frac{d}{dt}\Psi$$

7.2 动生电动势

动生电动势

$$\mathscr{E}_{ab}=\int_L \vec{E}_非\cdot d\vec{l}=\int_a^b (\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{l}$$

7.3 感生电动势和感生电场

变化的磁场会产生感生电场。感生电场的电力线是闭合的，是一种非静电场。正是这种非静电场产生了感生电动势。

$$\mathscr{E}_感=-\frac{d\Phi}{dt}$$

$$\int_L \vec{E}_感\cdot d\vec{l}=-\iint_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$$

或者

$$\nabla \times \vec{E}_感=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

7.4 互感

一个回路中的电流变化时，它附近的另一回路中产生的感生电动势称为互感电动势。
$M_{21}$称为线圈1对线圈2的互感，单位亨利$\rm{H=\Omega\cdot s}$。

$$M=M_{21}=M_{12}=\frac{\Psi_{21}}{i_1}=\frac{\Psi_{12}}{i_2}$$

互感电动势

$$\mathscr{E}_{21}=-M\frac{di_1}{dt}$$

7.5 自感

一个线圈的电流发生变化时，通过线圈自身的全磁通也会发生变化，线圈内产生的感生电动势称为自感电动势。
自感系数

$$L=\frac{\Psi}{i}$$

自感电动势

$$\mathscr{E}_L=-L\frac{di}{dt}$$

7.6 磁场的能量

自感磁能

$$W_m=\frac{1}{2}LI^2$$

单位体积的磁场能量（磁场能量密度）

$$w_m=\frac{B^2}{2\mu}=\frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H}$$

Chapter 8 麦克斯韦方程组和电磁辐射

8.1 与变化电场相联系的磁场

全电流及修正后的安培环路定理

$$I_全=I_传+I_位$$

$$\oint_L \vec{H}\cdot d\vec{l}=I_传+I_位$$

式中$I_传$为与L套连的传导电流

$$I_传=\int_S \vec{J}\cdot d\vec{S}$$

$I_位$为与L套连的位移电流

$$I_位=\frac{d\Phi_D}{dt}=\frac{d}{dt}\int_S \vec{D}\cdot d\vec{S}=\int_S \frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$$

8.2 麦克斯韦方程组

积分形式
电场的高斯定律

$$\oint_S \vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum q_{0内}=\int_V \rho dv$$

电场的环路定理

$$\int_L \vec{E} \cdot d\vec{l}=-\int_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$$

磁场的高斯定律

$$\int_S \vec{B}\cdot d\vec{S}=0$$

磁场的环路定律

$$\int_L \vec{H}\cdot d\vec{l}=I_传+I_位=\int_S (\vec{J}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t})\cdot d\vec{S}$$

微分形式

$$\begin{cases} \nabla\cdot \vec{D}=\rho_0\\ \nabla\times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\ \nabla\cdot \vec{B}=0\\ \nabla\times \vec{H}=\vec{J}_0-\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{cases}$$

8.3* 加速电荷的电磁场

8.4 电磁波的能量和动量

$$\vec{B}=\frac{\vec{c}\times \vec{E}}{c^2}$$

能量密度

$$w=\epsilon_0 E^2=\frac{B^2}{\mu_0}$$

能流密度（坡印亭矢量）

$$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times\vec{B}}{\mu_0}$$

简谐电磁波强度

$$I=\overline{S}=\frac{1}{2}c\epsilon_0E_m^2=c\epsilon_0E^2_{rms}$$

动量密度

$$\vec{p}=\frac{w}{c^2}\vec{c}$$

对绝对黑面的辐射压强

$$p_r=w$$

8.5* 同步辐射

8.6* A-B效应