大学物理（2）笔记-量子物理

Chapter1. 波粒二象性

1.1 黑体辐射

热辐射的基本概念

热辐射：物体受热就会辐射电磁波，高温下发可见光。温度不同时，辐射的波长（或频率）也不同，这种与温度有关的电磁辐射，称为热辐射。
注：并不是所有发光现象都是热辐射，例如：激光、日光灯发光就不是热辐射。

热辐射波谱是连续谱，各种波长(频率)都有，但是强度不同。热辐射强度按波长(频率)的分布和温度有关，温度越高，短波长的电磁波的比例越高。低温物体发出的是主要红外光。

平衡热辐射：物体辐射的能量等于同一时间内吸收的能量，物体达到热平衡，称为平衡热辐射。此时物体具有固定的温度$T$。

光谱辐出度（单色辐出度）$M_\nu$：单位时间内，从物体单位表面发出的频率在$\nu$附近单位频率间隔内的电磁波的能量，即

$$M_\nu=\frac{dE_\nu (T)}{d\nu}$$

单位为$\mathrm{W/m^2\cdot Hz}$。$M_\nu$和$T$，$\nu$有关，和物质种类和表面情况有关。

总辐出度$M(T)$：单位时间内从物体单位表面辐射的各种频率的总辐射能，即

$$M(T)=\int_0^\infin M_\nu(T)d\nu$$

单位为$\mathrm{W/m^2}$。

黑体

黑体：黑体是能完全吸收各种波长电磁波而无反射的物体。黑体是理想化模型。

基尔霍夫辐射定律：任何物体在同一温度$T$下辐射本领和吸收本领成正比，比值和$T$和$\nu$有关，与物质种类无关。
这表明：
1）黑体光谱辐出度最大；
2）好的辐射体也是好的吸收体。

黑体辐射谱的规律

黑体辐射测量实验装置

黑体$\to$光栅光谱仪$\to$热电偶。
对黑体加热，会放出热辐射；通过光栅可得到黑体辐射的频谱；通过热电偶可得到黑体辐射的光谱辐出度$M_\nu(T)$。

黑体辐射定律

维恩位移定律：黑体辐射谱$M_\nu\sim\nu$关系中，

$$\nu_m=C_\nu T,\quad C_\nu= 5.88\times10^{10} \mathrm{Hz/K}$$

也可用$M_\lambda\sim\lambda$关系表示，

$$T\lambda_m=b,\quad b=2.90\times10^{-3}\mathrm{m\cdot K}$$

斯特藩—玻耳兹曼定律：

$$M(T)=\sigma T^4,\quad \sigma=5.67\times10^{-8}\mathrm{W/(m^2\cdot K^4)}$$

$\sigma$为斯特藩—玻耳兹曼常量。

经典物理学遇到的困难

由经典理论导出的各种$M_\nu(T)\sim\nu$公式在从低频到高频大范围内都不能很好与实验曲线符合。

普朗克的能量子假说和黑体辐射公式

普朗克公式

$$M_\nu(T)=\frac{2\pi h}{c^2}\frac{\nu^3}{e^{h\nu/kT}-1}$$

普朗克常量$h=6.62607015\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}$。
普朗克认为：电磁辐射的能量交换只能是量子化的，即辐射“能量子”的能量$E=nh\nu,n=1,2,\cdots$。

对普朗克公式积分可得到$M(T)=\sigma T^4$，求导可得到$\nu_m=C_\nu T$，在长波段为瑞利—金斯公式

$$M_\nu(T)=\frac{2\pi\nu^2}{c^2}kT$$

短波段时满足维恩的半经验公式

$$M_\nu(T)=\alpha\nu^3e^{-\beta\nu/T}$$

用波长表示的形式：

$$M_\lambda(T)=\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}$$

1.2 光电效应

光照射到材料表面或原子分子上，并向外发射电子，这种现象叫光电效应。

实验规律：
1）光强$I$对饱和光电流$i_m$的影响：在$\nu$一定时$i_m\propto I$；
2）频率的影响：截止电压$U_c=K\nu-U_0$与$I$无关，存在红限频率$\nu_0=U_0/K$；
3）光电转换时间极短。

波动理论的困难在于不能解释以上2）3）。

1.3 光子、光的二象性

爱因斯坦的光子理论

爱因斯坦光量子假设：
光与物质相互作用时，其能流不是波动理论所描述的连续分布，而是集中在一些叫做光子的粒子上。光子能量$\epsilon=h\nu$；
光量子具有“整体性”：光的发射、传播、吸收都是量子化的。

一束光就是以速率$c$运动的一束光子流，光强$I=Nh\nu$，$N$为光子数流通量。

光子理论对光电效应的解释

一个光子将全部能量交给一个电子，电子克服金属对它的束缚，从金属中逸出，即

$$\frac{1}{2}mv_m^2=h\nu-A$$

$A$为逸出功。
光子打出光电子是瞬时发生的； $I$增大，$N$增大，单位时间打出光电子多，故$i_m$增大；$h\nu>A$时才能发生光电效应，所以存在红限频率$\nu_0=A/h$。

光的波粒二象性

波动性特征：$\nu,\lambda,c$与粒子性特征$E,m,p$之间的关系：

$$E=h\nu=\hbar\omega$$

$$m=\frac{h\nu}{c^2}$$

$$p=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda}=\hbar k$$

波长大或障碍物小则波动性突出，波长小或障碍物大则粒子性突出；
光作为电磁波是弥散在空间而连续的，光作为粒子在空间中是集中而分立的。

光子在某处出现的概率由光在该处的强度决定，光子是分立的，光强分布可以是连续的。

光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比，或者说和该处概率幅的平方成正比。

1.4 康普顿效应

康普顿研究了X射线在石墨上的散射。

实验规律

散射曲线的三个特点：
1）除原波长$\lambda_0$外，出现了移向长波方面的新的散射波长$\lambda$；
2）新波长$\lambda$随散射角$\varphi$的增大而增大；
3）当散射角增大时，原波长的谱线强度降低，而新波长的谱线强度升高。

实验表明：新散射波长$\lambda$大于入射波长$\lambda_0$，波长的偏移$\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0$只与散射角$\varphi$有关，和散射物质无关。实验规律是：

$$\Delta\lambda=\lambda_c(1-\cos\varphi)=2\lambda_c\sin^2\frac{\varphi}{2}$$

$\lambda_c=0.0241\mathrm{\AA}=2.41\times10^{-3}\mathrm{nm}$称为电子的康普顿波长。

只有当入射波长$\lambda_0$与$\lambda_c$可以比拟时，康普顿效应才显著，因此要用X射线才能观察到。

康普顿效应的理论解释

经典电磁理论难以解释为什么有$\lambda\neq\lambda_0$的散射，康普顿用光子理论做了成功的解释。
X射线光子与“静止”的“自由电子”弹性碰撞，碰撞过程中能量与动量守恒。
碰撞$\to$光子把部分能量传给电子$\to$光子的能量减少$\to$散射X射线频率减小波长增大。

注：
1）自由电子不可能吸收光子，只能散射光子；
2）原子也要参与动量交换，光子-电子系统动量不守恒，能量仍可认为是守恒的；
3）首次实验证实了爱因斯坦提出的“光量子具有动量”的假设。

1.5 实物粒子的波动性

德布罗意假设

德布罗意认为：一个能量为$E$、动量为$p$的实物粒子，同时也具有波动性，它的波长$\lambda$、频率$\nu$和$E$、$p$的关系与光子一样，即

$$E=h\nu,\quad p=\frac{h}{\lambda}$$

称为爱因斯坦-德布罗意关系式。与粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波，$\lambda$称为德布罗意波长。

物质波的概念可以解释原子中轨道量子化条件：稳定轨道$2\pi r=n\lambda$，波长$\lambda=h/p$，于是就有轨道角动量量子化条件$2\pi rmv=nh$。

电子衍射实验

戴维孙-革末实验、汤姆孙实验、约恩孙实验等

1.6 概率波与概率幅

对物质波的理解，概率波的概念

玻恩：德布罗意波并不像经典波那样是代表实在物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的“概率波”。

波函数及其统计解释

波函数：物质波是概率波，波函数通常用复数$\Psi$表示。例如自由粒子平面简谐波函数

$$\Psi(x,t)=A\cos (\omega t-kx)=Ae^{-i(\omega t-kx)}$$

物质波函数一般形式：一维$\Psi(x,t)$，三维$\Psi(\vec{r},t)$。

波函数的统计解释：物质波是“概率波”，它描述粒子在空间各处出现的概率。

光子在某处出现的概率和该处光波振幅的平方成正比，即$N\propto I\propto E_0^2$。

玻恩假设：物质波的波函数$\Psi$是描述粒子空间概率分布的“概率振幅”。其模的平方代表$t$时刻，在端点$\vec{r}$处单位体积中发现一个粒子的概率，称为“概率密度”。
$t$时刻在端点$\vec{r}$附近$dV$内发现粒子的概率为$|\Psi(\vec{r},t)|^2dV$。

电子通过双缝后，总的概率幅$\Psi_{12}=\Psi_1+\Psi_2$，而$P_{12}=|\Psi_{12}|^2=|\Psi_1+\Psi_2|^2\neq|\Psi_1|^2+|\Psi_2|^2=P_1+P_2$，出现了干涉。也就是说：干涉是概率波的干涉，是由于概率幅的线性叠加产生的。

微观粒子的波动性，实质上就是概率幅的相干叠加性。衍射图样是概率波的干涉结果。

统计解释对波函数提出的要求：
1）有限性：在空间任何有限体积元$\Delta V$中找到粒子的概率$\iiint_{\Delta V}|\Psi|^2dV$必须为有限值；
2）归一性：在空间各点的概率总和必须为$1$，即$\int_{\Omega}|\Psi|^2dV=1$；
3）单值性：波函数应单值，从而保证概率密度在任意时刻、任意位置都是确定的；
4）连续性：势场性质和边界条件要求波函数及其一阶导数（反映概率流）是连续的。

自由粒子在三维空间中运动的波函数：

$$\Psi(r,t)=\Psi_0e^{-\frac{i}{\hbar}(Et-\bar{p}\bar{r})}$$

对波粒二象性的理解

粒子性：不是经典粒子，抛弃了“轨道”概念；
波动性：不是经典波，不代表实在的物理量的波动。

微观粒子在某些条件下表现出粒子性，在另一些条件下表现出波动性，而两种性质虽寓于同一客体体中，却不能同时表现出来。

1.7 不确定关系

海森伯导出了不确定度关系：同时测量时，

$$\Delta x\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2}$$

$y,z$方向同理。不确定关系使微观粒子运动失去了“轨道”概念。

能级自然宽度和寿命的关系：设体系处于某状态的寿命为$\Delta t$，则该状态能量的不确定程度（能级自然宽度）$\Delta E$满足

$$\Delta E\Delta t\geq\frac{\hbar}{2}$$

存在不确定关系的一对物理量互称共轭物理量。不确定关系是由微观粒子的固有属性决定的，与仪器精度和测量方法的缺陷无关。宏观现象中，不确定关系的影响可以忽略。

Chapter2. 薛定谔方程

*2.1 薜定谔方程的建立

薛定谔方程是描述微观粒子的基本方程，同牛顿定律一样，它是不能够由其它基本原理推导出来的，它最初只是一个假定，后来通过实验检验了它的正确性。

薛定谔方程

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r},t)=\hat{H}\Psi(\vec{r},t)$$

1）薛定谔方程是线性偏微分方程，所以它的解满足态叠加原理；
2）薛定谔方程关于时间是一阶的。

定态薛定谔方程：若粒子在恒定势场$U=U(\vec{r})$中运动则薛定谔方程可分离变量。

$$[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\vec{r})]\Phi(\vec{r})=E\Phi(\vec{r})$$

粒子能量$E$取定值的状态称定态。

2.2 无限深方势阱中的粒子

物理上，$E$只有取某些特定值，该方程的解才能满足波函数的条件：单值、有限、连续和归一，特定的$E$值称为能量本征值。特定的$E$值所对应的方程称为能量本征方程，相应波函数称为能量本征函数。

一维无限深方形势阱中的波函数与能量

一维无限深方形势阱：

$$\begin{cases} U(x)=\infin,\quad |x|>\frac{a}{2}\\ U(x)=0,\quad |x|<\frac{a}{2}\\ \end{cases}$$

化简得到

$$\frac{d^2\Phi}{dx^2}+k^2\Phi=0,\quad k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$$

通解$\Phi(x)=A\sin (kx+\varphi)$
由满足连续条件，$\Phi_o=A\sin kx$，$\Phi_e=A\cos kx$。
束缚在势阱内的粒子的能量

$$E_n=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}n^2,\quad n=1,2,\cdots$$

$E_1$为最低能量（基态能量），能级间隔$\Delta E_n=E_{n+1}-E_n\propto 1/(ma^2)$
德布罗意波长

$$\lambda_n=\frac{2a}{n}$$

德布罗意波具有驻波的形式，每一个能量的本征态，对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波。反过来说，势阱中的能量量子化是德布罗意波形成驻波的必然结果。

能量本征函数

$$\begin{cases} |x|<\frac{a}{2},\quad\begin{cases} \Phi_{on}=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi}{a}x,\quad n=2,4,6,\cdots\\ \Phi_{en}=\sqrt{\frac{2}{a}}\cos \frac{n\pi}{a}x,\quad n=1,3,5,\cdots\ \end{cases}\\ |x|>\frac{a}{2},\quad \Phi=0 \end{cases}$$

考虑振动因子，含时波函数为

$$\Psi_n(x,t)=\Phi_n(x)e^{-\frac{i}{\hbar}E_nt}$$

该函数称“能量本征波函数”，每个本征波函数所描写的状态称粒子的“能量本征态”。
概率密度

$$|\Psi_n(x,t)|^2=|\Phi_n(x)|^2$$

2.3 势垒穿透

粒子进入势垒

给定势函数（一维势垒）

$$\begin{cases} U(x)=0,\quad x\leq 0\\ U(x)=U_0,\quad x>0\\ \end{cases}$$

入射能量$E<U_0$。

通解：

$$\begin{cases} \Psi_1(x)=Ae^{ik_1x}(反射波)+Be^{-ik_1x}(入射波),\quad k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}},\quad x<0\\ \Psi_2(x)=Ce^{-k_2x}=Ce^{-\frac{x}{\hbar}\sqrt{2m(U_0-E)}}(透射),\quad x>0\\ \end{cases}$$

概率密度$(x>0)$：粒子出现的概率$\neq0$，粒子可透入势垒。

有限宽势垒和隧道效应

若$x>a$区域$U=0$，那么波穿过势垒后，将以平面波的形式继续前进，振幅为

$$\Psi_2(a)=Ce^{-\frac{a}{\hbar}\sqrt{2m(U_0-E)}}$$

这称为势垒穿透或隧道效应。

穿透系数：粒子穿透势垒的概率

$$T\propto e^{-\frac{2a}{\hbar}\sqrt{2m(U_0-E)}}$$

穿透系数和势垒宽度、势垒高度、粒子能量、粒子质量有关。

隧道效应的应用

隧道二极管，场致发射，核的$\alpha$衰变等。

2.4 一维谐振子

若选线性谐振子平衡位置为坐标原点和势能零点，则一维线性谐振子的势能可以表示为

$$U(x)=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m\omega^2x^2$$

$m$为粒子质量，$k$为谐振子劲度系数，谐振子的角频率$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$。

谐振子的能量

$$E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega=(n+\frac{1}{2})h\nu,\quad n=1,2,\cdots$$

能量特点：
1）量子化，等间距；
2）有零点能：符合不确定关系，微观粒子不可能完全静止；
3）$n\to\infin$，$\frac{\Delta E}{E_n}\to 0$，能量量子化$\to$能量连续。

谐振子的波函数

$$\Psi_n(x)=(\frac{\alpha}{2n\sqrt{\pi}n!})^{1/2}H_n(\alpha x)e^{-\frac{1}{2}\alpha^2x^2},\quad \alpha=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$$

$H_n$是厄密多项式。

*2.5 力学量算符的本征值问题

Chapter3. 原子中的电子

3.1 氢原子

氢原子光谱的实验规律

里德伯方程：波数

$$\tilde{\nu}=R(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n'^2}),\quad n=1,2,3,\cdots;n'=n+1,n+2,\cdots$$

里德伯常数$R=10973731.568160(20)\mathrm{m^{-1}}$。
氢光谱各谱线系与$n$的关系：
赖曼系（紫外区）：$n=1$；
巴耳末系（可见光）：$n=2$；
帕邢系（红外区）：$n=3$；
布喇开系（红外区）：$n=4$；
普芳德系（红外区）：$n=5$。

对玻尔氢原子理论的回顾

定态条件：电子绕核作圆周运动，有确定的能量（不辐射能量）；
频率条件

$$\nu=\frac{E_i-E_f}{h}$$

量子化条件

$$L_n=m_ev_nr_n=n\hbar$$

玻尔理论可对氢原子光谱做出说明：电子从$E_i$跃迁到$E_f$（$E_i>E_f$）时发射光子。
玻尔理论很好地解释了氢原子光谱的波长，但是，不能说明氢原子光谱线的强度，也不能解释复杂原子的光谱结构。

氢原子的量子力学处理

角动量的空间量子化：
角动量大小$L=\sqrt{l(l+1)}\hbar$，$l=0,1,2,\cdots$为角量子数。
$L_z=m\hbar$，$m=0,\pm1,\cdots,\pm l$为磁量子数。
角动量$\vec{L}$在空间的取向只有$(2l+1)$种可能性，因而其空间的取向是量子化的。

$L_z$对应的共厄量是空间变量$\varphi$，所以$\Delta L_z\Delta\varphi\geq \frac{\hbar}{2}$，$L_z$完全确定时$L_x$和$L_y$完全不确定。

能量量子化：

$$E_n=\frac{1}{n^2}E_1,\quad n=1,2,\cdots$$

$n$称主量子数。
更精确的理论和实验表明，应该用电子和质子两体的约化质量$\mu$代替电子质量$m_e$。
解方程中还要求$n$和$l$满足关系$l\leq n-1$。
能量只和主量子数有关，同一个主量子数不同的角量子数和磁量子数其能量相同，这种情况叫能级的简并，同一能级的各状态称简并态。
氢原子简并度(简并态数目)：$n^2$。

电子的概率分布：
电子的角向概率分布：$p_x$为$\hat{L}_x$本征态本征值为$0$，是$\hat{L}^2$的本征态，本征值$2\hbar^2$。
电子的径向概率分布：
基态：电子出现在

$$r=r_1=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{me^2}\approx0.529\mathrm{\AA}$$

的单位厚度球壳层内的概率最大。

3.2 电子自旋与自旋轨道耦合

斯特恩—盖拉赫实验

玻尔磁子

$$\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}$$

施特恩—盖拉赫实验的意义：证明了空间量子化的存在；提出了新的矛盾；提供了原子的“态分离”技术，至今仍适用。

电子自旋

米特提出：电子不是质点，有固有的自旋角动量$\vec{S}$和相应的自旋磁矩$\vec{\mu}_S$。电子带负电，磁矩的方向和自旋的方向应相反。
自旋角动量也应有：

$$S=\sqrt{s(s+1)}\hbar,\quad S_z=m_S\hbar$$

$s$为自旋量子数，$m_S$为自旋磁量子数，有$2s+1$种取法。

电子的自旋轨道耦合

电子绕核运动时，既有轨道角动量$\vec{L}$，又有自旋角动量$\vec{S}$，这时电子状态和总角动量$\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}$，这一角动量的合成，叫自旋轨道耦合。
由量子力学可知，$J=\sqrt{j(j+1)}\hbar$也是量子化的，相应的总角动量量子数用$j$表示。

3.3 微观粒子的不可分辨性和泡利不相容原理

微观粒子的全同性

同种微观粒子的质量、自旋、电荷等固有性质都是全同的，不能区分。不过经典理论尚可按运动轨道来区分同种粒子。而在量子理论中，微观粒子的运动状态是用波函数描写的，它们没有确定的轨道，因此也是不可区分的。量子物理把这称做“不可分辨性”，或“全同性”。

费米子和玻色子、泡利不相容原理

全同粒子按自旋划分，可分为两类：
费米子：费米子是自旋$s$为半整数的粒子，如$\mathrm{e,p,n,\mu,\tau,\nu,^3He}$(复合粒子：由奇数个费米子构成)等。
费米子体系的波函数是反对称的，即$\Psi(1,2)=-\Psi(2,1)$，

$$\Psi(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Psi_A(1)\Psi_B(2)-\Psi_A(2)\Psi_B(1))$$

当量子态$\Psi_A=\Psi_B$时$\Psi(1,2)=0$，这表明：不能有两个全同的费米子处于同一个单粒子态，此即泡利不相容原理。

玻色子：玻色子是自$s$为整数的粒子，如$\mathrm{\pi,^4He},$光子等。
玻色子的波函数是对称的，即$\Psi(1,2)=\Psi(2,1)$，

$$\Psi(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Psi_A(1)\Psi_B(2)+\Psi_A(2)\Psi_B(1))$$

当量子态$\Psi_A=\Psi_B$时$\Psi(1,2)\neq0$，这表明：一个单粒子态可容纳多个玻色子，不受泡利不相容原理的制约。

各种原子核外电子的排布

能量最低原理+泡利不相容原理可以解释元素周期律。
第一电离势：打掉一个电子所需的能量；
电子亲和势：得到一个电子所释放的能量。

*3.4 量子统计：费米统计和玻色统计

3.5 关于量子力学的小结

略。

3.6 X射线

原子光谱的构成和X射线发射谱

光学线状谱：价电子跃迁；
X射线谱：分为：
连续谱：电子韧致辐射；
线状谱：内层电子跃迁。

X射线的连续谱

连续谱起源于轫致辐射。
电子打重物质（$Z$大）辐射强。
轫致辐射连续谱有截止波长

$$\lambda_{\min}=\frac{hc}{e}\frac{1}{U}\propto\frac{1}{U}$$

X射线的线状光谱

任何元素发出的射线都包含若干线系，依次称$K,L,M$等。
不同元素的X射线线状谱能量不同。线状谱起源于电子的内层跃迁，它的能量由元素决定，与电压$U$无关。

$K,L$层电子离核近受核影响大。不同元素$K,L$系光谱不同，作为特征谱。

莫塞莱定律：

$$\sqrt{\nu_{K_\alpha}}=0.496\times10^8(Z-1)$$

$\sqrt{\nu_{K_\alpha}}$为某元素发出的$K_\alpha$线的频率，$Z$为该元素的原子序数。

$K$系只与元素本身有关，与化学结构无关，说明X射线线状谱的可以用来标识物质中的元素。

X射线的应用

透视、衍射、CT、X射线荧光分析等。

*3.7 分子光谱简介

分子的带状光谱

光谱特点：带状（发射谱、吸收谱）。

分子光谱的产生

电子运动$E_e$，分子振动$E_v$，分子转动$E_r$。

电子能级$E_e$：可见光和紫外。内层电子在形成分子时状态不变，仍可用原子中的四个量子数描写；外层电子受各原子核的作用，$\vec{L}$不再守恒，不能用$n$，$l$等量子数描写，情况较复杂。

振动能级$E_v$：中、远红外。实际上分子振动不是理想谐振子，势阱两边非对称，能级也不完全等间距。

转动能级$E_r$：远红外、微波。

实际上三种波长的光谱有可能交织在一起，十分复杂。

3.8 激光

激光又名镭射，全名为辐射的受激发射光放大。

激光种类：
按工作物质分：固体，液体，气体，半导体等。
按工作方式分：连续式，脉冲式等。

原子的激发和辐射

自发辐射：原子处于激发态是不稳定的，会自发的跃迁到低能级，同时放出一个光子，这叫自发辐射。

设$N_1$，$N_2$为单位体积处于$E_1$，$E_2$能级的原子数，则在单位体积中单位时间内从$E_2\to E_1$自发辐射的原子数为

$$(\frac{dN_{21}}{dt})_{自发}=A_{21}N_2$$

$A_{21}$为自发辐射系数，它是单个原子在单位时间内发生自发辐射的概率。
$\tau=\frac{1}{A_{21}}$是原子在$E_2$能级的平均停留时间。
各原子发射的自发辐射光子是彼此独立的、因而自发辐射光是非相干光。

吸收：若原子处在某个能量为$E_1$的低能级，另有某个能量为$E_2$的高能级。当入射光子的能量$h\nu=E_2-E_1$时，原子就可能吸收光子而从低能级跃迁到高能级，这个过程称为吸收。

设$N_1$，$N_2$为单位体积处于$E_1$，$E_2$能级的原子数，则在单位体积中单位时间内因吸收光子从$E_1\to E_2$的原子数为

$$(\frac{dN_{12}}{dt})_{吸收}=W_{12}N_1$$

$W_{12}$是单个原子在单位时间内发生吸收过程的概率，它和外来辐射的能量密度有关。

设$\rho(\nu,T)$是温度为$T$时，频率$\nu=(E_2-E_1)/h$附近，单位频率间隔内外来辐射的能量密度，则

$$W_{12}=B_{12}\rho(\nu,T)$$

$B_{12}$是吸收系数，它是单位辐射能量密度的外来辐射作用下，单个原子在单位时间内发生吸收的概率。

受激辐射：最早由爱因斯坦提出，原子交换能量时，还存在另一种辐射方式：受激辐射。
受激辐射会发射一个和入射光子完全相同的光子。

受激辐射有光放大作用。
单位体积单位时间内，从$E_2\to E_1$的受激辐射的原子数为

$$(\frac{dN_{21}}{dt})_{受激}=W_{21}N_2$$

$W_{21}=B_{21}\rho(\nu,T)$为单个原子在单位时间内发生受激辐射过程的概率；$B_{21}$为受激辐射系数。

$A_{21},B_{21},B_{12}$统称为爱因斯坦系数。可以证明：

$$B_{21}=B_{12},\quad A_{21}=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}B_{12}$$

布居数反转

由大量原子组成的系统，在温度不太低的平衡态，原子数目按能级的分布服从玻耳兹曼统计分布。
热平衡态无法产生光放大，要产生光放大必须$(\frac{dN_{21}}{dt})_{受激}>(\frac{dN_{12}}{dt})_{吸收}$，即必须$N_2>N_1$，即粒子数布居反转（也称粒子数反转）。

实现布居数反转：粒子数反转态是非热平衡态。为了促使粒子数反转的出现，必须用特殊的手段去激发原子体系。称为“泵浦”或“抽运”。激发的方式可以有光激发和原子碰撞激发等。
四能级系统激光的工作阈值较低。

光学谐振腔

为了加强光放大，受激辐射光需要反复通过激活物质，这就需要在激活物质两侧有两个反射镜，构成一个“光学谐振腔”。

光学谐振腔的作用：
1）使激光具有很好的方向性（沿轴线）；
2）增强光放大作用（相当延长了工作物质）；
3）使激光具有很好的单色性（选频）。

光学谐振腔的选频：在光学谐振腔的作用下可形成纵模和横模。
纵模：沿光学谐振腔纵向（轴波）形成的每一种稳定的光振动（驻波）称为一个纵模。
光在谐振腔两端来回反射要产生干涉，而相长干涉才能有输出，条件为：往返光程$2nL=k\lambda_k,\quad k=1,2,\cdots$。
相邻两个纵模频率的间隔

$$\Delta\nu_k=\frac{c}{2nL}$$

横模：激光光强沿谐振腔横向的每一种稳定的分布模式。激光横模的具体分布由谐振腔和相应光路中的器件所设定的边界条件决定。
基横模输出的特点：亮度高、发散角小、在激光光束的横截面上径向光强分布较均匀、横截面上各点的位相相同，空间相干性最好。

小结：激光器的三个主要组成部分的作用：
1）增益介质：有合适的能级结构，能实现布居数反转；
2）激励能源：使原子激发，维持布居数反转。；
3）光学谐振腔：保证光放大，使激光有良好的方向性和单色性。

激光的特点：相干性好，方向性好，亮度和强度高。

应用：激光的应用已遍及科技、工农业、医疗、军事、生活等各个领域。

*非线性光学

强激光：不符合叠加原理——非线性光学。