数学分析(3)笔记

已经基本全部更新完成.

这篇文章是 UncleBob 的数学分析(3)笔记, 只记录了一些重要的定义和定理, 没有列出证明过程. 仅供参考, 也许会有很多 typo.

Chapter 13. 数项级数

13.1 无穷级数的基本性质

定义(无穷级数) 设$\{a_n\}$为数列, 形如

$$\sum_{n=1}^{\infin}a_n=a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots$$

称为无穷级数.
$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$为部分和, 若$\{S_n\}$有有限的极限, 称无穷级数收敛, 否则称为发散.

定理(Cauchy准则) $\sum_{n=1}^{\infin}a_n$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0, \exist N>0, |a_{N+1}+\cdots +a_{N+p}|<\epsilon$.

定理 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛, 则

$$\lim _{n \rightarrow \infin}a_n = 0$$

反之不成立.

定理 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n, \sum_{n=1}^{\infin}b_n$收敛, 那么$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$,

$$\sum_{n=1}^{\infin}(\alpha a_n+ \beta b_n)$$

收敛.

定理 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛, 不改变次序添加括号

$$\tag{1} (a_{1}+\cdots +a_{k_1})+(a_{k_1+1}+\cdots +a_{k_2})+\cdots +(a_{k_{n-1}+1}+\cdots +a_{k_n})+\cdots$$

那么$(1)$式收敛.

定理 若$(1)$中项不改变符号, 若$(1)$收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛且与$(1)$相等.

13.2-3 正项级数和正项级数的判别法

定义(正项级数) 设有$\{a_n\}_{n=1}^{\infin}$, 若$a_n \geq 0$, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$为正项级数.

定理 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$为正项级数, 则 $\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛 $\Leftrightarrow$ $S_n$有界.

定理(比较判别法) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n, \sum_{n=1}^{\infin}b_n$为正项级数, $\exist N>0$, 当$n>N$时$a_n \leq b_n$, 则
1)若 $\sum_{n=1}^{\infin}b_n$收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛;
2)若 $\sum_{n=1}^{\infin}a_n$发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infin}b_n$发散.

定理(比较判别法的极限形式) 设 $\sum_{n=1}^{\infin}a_n, \sum_{n=1}^{\infin}b_n$均为正项级数, $\lim _{n \to \infin} \frac{a_n}{b_n}=l$, 则
1)若$0<l<+\infin$, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n, \sum_{n=1}^{\infin}b_n$同敛散;
2)若$l=0$, $\sum_{n=1}^{\infin}b_n$收敛, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛;
3)若$l=\infin$, $\sum_{n=1}^{\infin}b_n$发散, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$发散.

定理(Cauchy积分判别法) 设$x\geq 1, f(x)\geq 0$, 且$f(x)$单调递减, 则$\sum_{n=1}^{\infin}f(n)$与$\int _1^{+\infin}f(x)dx$同敛散.

定理(Cauchy根式判别法) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$为正项级数,
1)若$\exist 0<q<1, \exist N$, 当$n>N$时, $a_n^{1/n}\leq q$, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛;
2)若存在无穷多$a_n$ s. t. $a_n^{1/n}\geq 1$, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$发散.

定理(Cauchy根式判别法的极限形式) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$为正项级数, $\varlimsup _{n \to \infin} a_n^{1/n} = q$,
1)若$q<1$, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛;
2)若$q>1$, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$发散;
2)若$q=1$, 则无法判断.

定理 设 $\sum_{n=1}^{\infin}a_n, \sum_{n=1}^{\infin}b_n$均为正项级数, $\exist N$, 当$n\geq N$时, $\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \frac{b_{n+1}}{b_n}$,
1)若$\sum_{n=1}^{\infin}b_n$收敛, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛;
2)$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$发散, 则$\sum_{n=1}^{\infin}b_n$发散;

定理(D‘Alembert判别法) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$为正项级数,
1)$\exist 0<q<1, \exist N$, 当$n\geq N$时$\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq q$, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛;
2)$\exist N$, 当$n\geq N$时$\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1$, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$发散.

定理(D‘Alembert判别法的极限形式) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$为正项级数,
1)若 $\varlimsup _{n \to \infin}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q<1$, 则 $\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛;
2)若 $\varliminf _{n \to \infin}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q'>1$, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$发散;
3)若 $q, q'=1$, 则无法判断.

定理(Raabe判别法) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$为正项级数,
1)$\exist \gamma >1, \exist N$, 当$n\geq N$时, $n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\geq \gamma >1$, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛;
2)$\exist N$, 当$n\geq N$时, $n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\leq 1$, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$发散.

定理(Raabe判别法的极限形式) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$为正项级数, 有$\lim_{n \to \infin}n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=l$(或$\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{l}{n}+\omicron (\frac{1}{n})$),
1)若 $l<1$, 则 $\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛;
2)若 $l>1$, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$发散;
3)若 $l=1$, 则无法判断.

注:

$$\frac{n+1}{n}\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^{\alpha}=1+\frac{1}{n}+\frac{\alpha}{n\ln n}+\omicron \left(\frac{1}{n\ln n}\right)$$

定理(Gauss判别法) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$为正项级数, 满足

$$\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{1}{n}+\frac{\beta}{n\ln n}+\omicron \left(\frac{1}{n\ln n}\right)$$

那么 $\beta>1$则 $\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛; $\beta<1$则 $\sum_{n=1}^{\infin}a_n$发散.

定理(Kurnmer判别法) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n, \sum_{n=1}^{\infin}b_n$均为正项级数, $\exist N$, 当$n\geq N$时,
1)$\frac{1}{b_n}\frac{a_n}{a_{n+1}}-\frac{1}{b_{n+1}} \geq \lambda > 0$, 则 $\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛;
2)$\frac{1}{b_n}\frac{a_n}{a_{n+1}}-\frac{1}{b_{n+1}} \leq 0$, 若则 $\sum_{n=1}^{\infin}b_n$发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infin}a_n$发散.

定理(Cauchy凝聚判别法) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$为正项级数且$\{a_n\}$单调递减, 则
$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛 $\Leftrightarrow$ $\sum_{n=0}^{\infin}2^ka_{2^k}$收敛

13.4 一般级数的判别法

定理(Dirichlet判别法和Abel判别法) 对于级数$\sum_{n=1}^{\infin}a_nb_n$,
1)(Dirichlet)设$\{b_n\}$单调趋于$0$, $\sum_{n=1}^{\infin}a_n$的部分和有界, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_nb_n$收敛;
2)(Abel)设$\{b_n\}$单调有界, $\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_nb_n$收敛.

推论(Leibnilz判别法) 若$\{a_n\}$单调趋于$0$, 则$\sum_{n=1}^{\infin}(-1)^na_n$收敛.

13.5 绝对收敛与条件收敛

定义(绝对收敛和条件收敛) 给定级数$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$,
若$\sum_{n=1}^{\infin}|a_n|$收敛, 则称$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$绝对收敛;
若$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛, $\sum_{n=1}^{\infin}|a_n|$发散, 称$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$条件收敛.

定理 若级数绝对收敛, 则级数收敛.

定理 任意改变绝对收敛级数的求和顺序不改变起敛散性和值.

定理(Riemann) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$条件收敛, 设$-\infin \leq \alpha \leq \beta \leq \infin$.
总可以调整级数的求和次序得到新的级数$\sum_{n=1}^{\infin}b_n$, 其部分和为$T_n$, s. t.

$$\varliminf _{n \to \infty}T_n=\alpha,\quad \varlimsup _{n \to \infty}T_n=\beta$$

13.6 级数的乘法

定义(Cauchy乘积) 令

$$c_n=\sum_{i+j=n+1}a_ib_j$$

称$\sum_{n=1}^{\infin}c_n$为$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$与$\sum_{n=1}^{\infin}b_n$的Cauchy乘积.

定理(Cauchy) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n, \sum_{n=1}^{\infin}b_n$绝对收敛, 记$\sum_{n=1}^{\infin}a_n=A$, $\sum_{n=1}^{\infin}b_n=B$, 其Cauchy乘积$\sum_{n=1}^{\infin}c_n=C$,
则Cauchy乘积$\sum_{n=1}^{\infin}c_n$绝对收敛, 且$C=AB$.

定理(Mertens) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$绝对收敛, $\sum_{n=1}^{\infin}b_n$收敛, 记$\sum_{n=1}^{\infin}a_n=A$, $\sum_{n=1}^{\infin}b_n=B$, 其Cauchy乘积$\sum_{n=1}^{\infin}c_n=C$,
则Cauchy乘积$\sum_{n=1}^{\infin}c_n$绝对收敛, 且$C=AB$.

定理(Abel) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$, $\sum_{n=1}^{\infin}b_n$收敛, 记$\sum_{n=1}^{\infin}a_n=A$, $\sum_{n=1}^{\infin}b_n=B$, 其Cauchy乘积$\sum_{n=1}^{\infin}c_n=C$也收敛,
则$C=AB$.

13.7 无穷乘积

定义(无穷乘积) 设$\{p_n\}$为数列, 称

$$\prod _{n=1}^{\infin}p_n=p_1p_2\cdots p_n\cdots$$

为无穷乘积, $P_n=\prod_{i=1}^np_i$为第$n$个乘积. 若$\lim_{n \to \infty}P_n=P \in \mathbb{R}$, 称$P$为无穷乘积的值.
若$P\neq 0$, 称$\prod _{n=1}^{\infin}p_n$收敛, 否则称为发散.

定理 若$\prod _{n=1}^{\infin}p_n$收敛, 则$\lim_{n \to \infty} p_n=1$.

定理 $\prod _{n=1}^{\infin}(1+a_n)$收敛 $\Leftrightarrow$ $\sum _{n=1}^{\infin}\ln (1+a_n)$收敛.

定理 若$\exist N$, 当$n\geq N$时, 有$a_n<0$或$a_n>0$, 则$\prod _{n=1}^{\infin}(1+a_n)$与$\sum _{n=1}^{\infin}a_n$同敛散.

定理 若$\sum _{n=1}^{\infin}a_n^2<\infin$, 则$\prod _{n=1}^{\infin}(1+a_n)$与$\sum _{n=1}^{\infin}a_n$同敛散.

定理(Euler-Gauss公式) 记

$$\Gamma(x)=\int_0^{+\infin}t^{x-1}e^{-t}dt$$

$\gamma$为Euler常数, 则

$$\Gamma(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{n!n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}=\frac{1}{xe^{\gamma x}}\prod_{n = 1}^{\infty}\frac{e^\frac{x}{n}}{1+\frac{x}{n}}$$

性质 Gamma函数$\Gamma (x)$满足
1)$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$;
2)(余元公式)$x\in (0, 1)$时, $\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin (\pi x)}$.

定义(Riemann$\zeta$函数) Riemann$\zeta$函数

$$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infin} \frac{1}{n^x}$$

定理(Euler乘积公式) 记素数$p_1=2, p_2=3, p_3=5, \cdots , p_n, \cdots$, 那么

$$\zeta(x)=\prod_{k=1}^{\infin} \frac{1}{1-p_k^{-x}},\quad x>1$$

注 Euler乘积公式被Riemann用来研究素数分布. 取$x=1$可以证明素数有无穷多个.

定理 $\forall n, p_n=1+a_n>0$, 则
1)$\sum _{n=1}^{\infin}\ln (1+a_n)=-\infin \Leftrightarrow \prod _{n=1}^{\infin}(1+a_n)=0$;
2)设$-1<a_n<0$, 若$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$发散, 则$\prod _{n=1}^{\infin}(1+a_n)=0$;
3)若$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$收敛, $\sum_{n=1}^{\infin}a_n^2$发散, 则$\sum _{n=1}^{\infin}\ln (1+a_n)=-\infin$, $\prod _{n=1}^{\infin}(1+a_n)=0$.

定义(绝对收敛和条件收敛) 对无穷乘积$\prod _{n=1}^{\infin}(1+a_n)$,
若$\prod _{n=1}^{\infin}(1+|a_n|)$收敛, 称$\prod _{n=1}^{\infin}(1+a_n)$绝对收敛;
若$\prod _{n=1}^{\infin}(1+a_n)$收敛, $\prod _{n=1}^{\infin}(1+|a_n|)$发散, 称$\prod _{n=1}^{\infin}(1+a_n)$条件收敛.

定理 无穷乘积绝对收敛一定收敛.

Chapter 14. 函数列与函数次级数

14.1-2 函数列

定义(逐点收敛) $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infin}$为定义在$D$上的函数列. 固定$x_0\in D$, $\{f_n(x_0)\}_{n=1}^{\infin}$为数列.
若$\forall x_0 \in D$, $\{f_n(x)\}$都收敛于函数$f(x)$, 称$\{f_n(x)\}$逐点收敛于$f(x)$.

定义(一致收敛) $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infin}$为定义在$D$上的函数列. 若$\forall \epsilon >0, \exist N(\epsilon)$, 当$n>N$时,

$$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$

称$\{f_n(x)\}$一致收敛于$f(x)$. 记为$f_n(x)\rightrightarrows f(x)$.

定理 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infin}$为定义在$D$上的函数列, 令$\beta _n=\sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|$, 那么
在$D$上$f_n(x)\rightrightarrows f(x)$ $\Leftrightarrow$ $\lim _{n \to \infin} \beta_n =0$.

定理(Cauchy收敛定理) $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infin}$为定义在$D$上的函数列, 那么
$f_n(x)\rightrightarrows f(x)$ $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon >0, \exist N(\epsilon)$, 当$n>N$时, $\forall p \geq 1, |f_{n+p}(x)-f_n(x)|<\epsilon$.

定义(函数项级数一致收敛) 设$\{a_n(x)\}$定义在$D\in \mathbb{R}^n$上, $\sum_{n=1}^{\infin}a_n(x)$的前$n$项和为$S_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k(x)$, 若$S_n(x)$一致收敛于$S(x)$, 称函数项级数$\sum_{n=1}^{\infin}a_n(x)$一致收敛于$S(x)$.

定理 $\sum_{n=1}^{\infin}a_n(x)$一致收敛 $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon >0, \exist N$, 当$n>N$时, $|a_{n+1}+\cdots+a_{n+p}|<\epsilon$.

定理(Weierstrass优级数判别法) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n(x)$定义在$D$上, $\sum_{n=1}^{\infin}M_n$数项级数收敛, $M_n>0$. 若$\exist N$, 当$n>N$时, 满足$|a_n(x)|<M_n, \forall x \in D$, 那么$\sum_{n=1}^{\infin}a_n(x)$是一致收敛.

定义(一致有界) 设$\{f_n(x)\}$定义在$D$上, 若$\exist M>0$, s. t. $\forall n, \forall x \in D, |f_n(x)| \leq M$, 称$\{f_n(x)\}$一致有界.

定理(Abel和Dirichlet判别法) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n(x)b_n(x)$定义在$D$上,
1)(Dirichlet) $\forall x \in D, \{b_n(x)\}$单调趋于$0$, $S_n(x)=\sum_{k=1}^na_k(x)$一致有界, 那么$\sum_{n=1}^{\infin}a_n(x)b_n(x)$一致收敛;
2)(Abel) $\forall x \in D, \{b_n(x)\}$单调有界, $\sum_{k=1}^{\infin}a_k(x)$收敛, 那么$\sum_{n=1}^{\infin}a_n(x)b_n(x)$一致收敛.

14.3 极限函数与和函数的性质

1. 极限

定理 设$\{f_n(x)\}$定义在$D$上, $f_n(x)\rightrightarrows f(x), f_n(x)\in C(D)$, 则$f(x)\in C(D)$.

定理 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_n(x)$定义在$D$上, $\sum_{n=1}^{\infin}a_n(x) \rightrightarrows S(x), a_n(x)\in C(D)$, 则$S(x)\in C(D)$.

注:

$$S(x_0)=\lim_{x\to x_0}S(x)=\lim_{x\to x_0} \sum_{n=1}^{\infin}a_n(x)=\sum_{n=1}^{\infin}\lim_{x\to x_0}a_n(x)=\sum_{n=1}^{\infin}a_n(x_0)$$

定理(Dini) 设$D\subset \mathbb{R}^n$为紧致集, $\{f_n(x)\}$定义在$D$上, $f_n(x) \rightarrow f(x)$, 且$f_n(x), f(x)\in C(D)$. 若$\forall x_0\in D, \{f_n(x_0)\}$单调, 则$f_n(x)\rightrightarrows f(x)$.

定理 设$D\subset \mathbb{R}^n$为紧致集, 对于$\{a_n(x)\}$, 满足$a_n(x)>0, a_n(x)\in C(D), \sum_{n=1}^{\infin}a_n(x) \rightarrow S(x)$, 则$\sum_{n=1}^{\infin}a_n(x) \rightrightarrows S(x)$.

定理 设$D\subset \mathbb{R}^n$, $\{F_n(x)\}$定义在$D$上, $F_n(x) \rightrightarrows F(x)$, $x_0$为$D$的一个极限点, $\forall n\in \mathbb{N}$, 存在极限$\lim _{x\to x_0}F_n(x)=G_n$, 则$\{G_n\}$收敛于$G$, 且有以下交换图

$$\begin{CD} F_n(x) @>x\to x_0>> G_n \\ @Vn\to \infin, 一致收敛 VV @VVn\to \infin V \\ F(x) @>>x\to x_0> G \end{CD}$$

即

$$\lim_{n\to \infin}\lim_{x\to x_0}F_n(x)=\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to \infin}F_n(x)$$

2. 可积性

定理 设$\{f_n(x)\}$为定义在$[a, b]\subset \mathbb{R}$上的函数列, $f_n(x)\rightrightarrows f(x), f_n(x)\in \mathcal{R} ([a, b])$,
则$f(x)\in \mathcal{R}([a, b])$, 且

$$\lim_{n\to \infin}\int_a^b f_n(x)dx =\int_a^b \lim_{n\to \infin} f_n(x)dx = \int_a^bf(x)dx$$

定理 设$\{a_n(x)\}$定义在$[a, b]\subset \mathbb{R}$上, $\sum_{n=1}^{\infin}a_n(x) \rightrightarrows S(x), \forall n, a_n(x)\in \mathcal{R} ([a, b])$, 则

$$\int_a^b \sum_{n=1}^{\infin}a_n(x)dx=\sum_{n=1}^{\infin} \int_a^ba_n(x)dx$$

定理(Arzelà有界收敛定理) 设$\{f_n(x)\}$为定义在$[a, b]\subset \mathbb{R}$上的函数列, $f_n(x)$收敛于$f(x)$, $f_n(x), f(x)\in \mathcal{R} ([a, b])$, 且$\forall n, \exist M>0$, s. t. $|f_n(x)|\leq M$, 则

$$\lim_{n\to \infin}\int_a^bf_n(x)dx=\int_a^bf(x)dx$$

3. 可微性

定理 设$\{f_n(x)\}$定义在$[a, b]$上, 满足:
1)$\forall n, f_n(x)$可微, 且$\exist x_0\in [a, b]$, s. t. $\{f_n(x_0)\}$收敛;
2)$f'_n(x) \rightrightarrows g(x)$.
则$f_n(x)\rightrightarrows f(x)$可导并且$f'(x)=g(x)$.

定理 设$\{a_n(x)\}$定义在$[a, b]$上, 满足
1)$\forall n, a_n(x)$可微, 且$\exist x_0\in [a, b]$, s. t. $\sum_{n=1}^{\infin}a_n(x_0)$收敛;
2)$\sum_{n=1}^{\infin}a'_n(x) \rightrightarrows G(x)$.
那么$\sum_{n=1}^{\infin}a_n(x)\rightrightarrows S(x)$可导并且$S'(x)=G(x)$.

14.4 幂级数

定义(幂级数) 形如$\sum_{n=0}^{\infin}a_n(x-x_0)^n$, $a_n\in \mathbb{R}$(或$\mathbb{C}$)成为幂级数. 方便起见一般令$x_0=0$, 即形如$\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$.

定理(Abel) 对幂级数$\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$,
1)设$\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$在$x_1 \neq 0$收敛, 则在$|x|< |x_1|$绝对收敛;
2)设$\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$在$x_1 \neq 0$发散, 则在$|x|> |x_1|$发散.

定义(收敛半径) 对幂级数$\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$, 称

$$R=\frac{1}{\varlimsup\limits_{n\to \infin}|a_n|^{\frac{1}{n}}}$$

为幂级数收敛半径.

定理(Cauchy-Hadamard) 对幂级数$\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$,
1)$R=0$, 则$x\neq 0, \sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$发散;
2)$R=+\infin$, 则$\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$在$\mathbb{R}$上收敛;
3)$0<R<+\infin$, 则$\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$在$(-R, R)$上收敛.

定理(内闭一致收敛) 设$\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$收敛半径为$R$, 则$\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$在$(-R, R)$内闭一致收敛, 即$\forall 0<r<R, \sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$在$[-r, r]$一致收敛.

定理 设$\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$收敛半径为$R$, 其和函数$S:(-R, R)\rightarrow \mathbb{R}$, 则:
1)$S(x)$在$(-R, R)$上有任意阶导数, 且

$$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infin}na_nx^{n-1}, \cdots, S^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^{\infin}n(n-1)\cdots (n-k+1)a_nx^{n-k}, \quad k\in \mathbb{N}$$

2)$\forall x\in (R, R)$, 有

$$\int_0^x \sum_{n=0}^{\infin} a_nt^ndt=\sum_{n=0}^{\infin}a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

定理(Abel第二定理, 连续性定理) 设$\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$收敛半径为$R$,
1)若在$x=R$收敛, 则$\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$在$x=R$左连续;
2)若在$x=-R$收敛, 则$\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$在$x=-R$右连续;

定理 设级数$\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$, $\sum_{n=0}^{\infin}b_nx^n$和其Cauchy乘积$\sum_{n=0}^{\infin}c_nx^n$均收敛, 分别收敛于$A, B, C$, 则$C=AB$.

14.5 函数的幂级数展开

定理 设$f\in C^{\infin}(x_0-R, x_0+R)$, 若$\exist M>0$, s. t. $n$充分大时$\forall x\in (x_0-R, x_0+R), |f^{(n)}|\leq M$, 则$f$可展开为幂级数, 即

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infin}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,\quad x\in(x_0-R, x_0+R)$$

定义(解析) 设$f$为定义在$(x_0-R, x_0+R)$上的函数, 若可表示为$f(x)=\sum_{n=0}^{\infin}a_n(x-x_0)^n$, 即$f$在$x_0$点的幂级数表示, 称$f$在$x=x_0$点(实)解析.

命题 设$f$在$x_0$的某领域内有定义, 在$x_0$点解析, 且$f(x_0)\neq 0$, 则$\frac{1}{f(x)}$在$x_0$也解析.

14.6-7 用多项式一致逼近连续函数

1. Weierstrass逼近定理

定义(一致逼近) 设$D\subset \mathbb{R}$, $f$为定义在$D$上的函数. 若$\forall \epsilon >0$, 存在多项式$P_{\epsilon}(x)$, s.t. $\forall x \in D, |f(x)-P_{\epsilon}(x)|<\epsilon$, 称$P_{\epsilon}(x)$一致逼近$f$.

定理(Weierstrass逼近定理) 闭区间上的任一连续函数可由多项式一致逼近.

定义(Bernstein) 定义

$$B_i^n(x)={n\choose 2} x^i(1-x)^{n-i},\quad i=0, 1, \cdots, n$$

设$f:[-1, 1]\rightarrow \mathbb{R}$, 定义

$$B_n(f;x)=\sum_{k=0}^n f(\frac{k}{n})B_k^n(x)$$

为$f$的Bernstein多项式.

2. Weierstrass-Stone定理

定义(度量空间) 设$D$为拓扑空间中的紧集. 在$C(D)$上引入度量:$\forall f, g\in C(D), d(f, g)=\sup_{x\in D}|f(x)-g(x)|$.
$d$满足以下性质:
1)$d(f, g)\geq 0 ; d(f, g)=0 \Leftrightarrow f\equiv g$;
2)$d(f, g)=f(g, f)$;
3)$d(f, g)\leq d(f, h)+d(h, g)$.
则$(C([a, b]), d)$为度量空间.

注:利用上述定义, Weierstrass定理可以表述为:
实系数多项式构成的集合$P([a, b])$为度量空间$(C([a, b]), d)$的稠密子集, i. e.
$\overline{P([a, b])}=(C([a, b]), d)$.

定义(函数代数) 设 $\mathcal{A}$ 为集合 $D$ 上某些函数构成的集合, 若 $\forall f, g\in \mathcal{A}, \alpha \in \mathbb{R}$ , 满足:
1)$f+g\in \mathcal{A}$;
2)$fg\in \mathcal{A}$;
3)$\alpha f \in \mathcal{A}$.
称 $\mathcal{A}$ 为集合 $D$ 上的一个实的(函数)代数.

定义(一致闭) 若代数$\mathcal{A}$满足对于$f_n\in \mathcal{A}, n=1, 2, \cdots , f_n \rightrightarrows f$, 且$f\in \mathcal{A}$, 则称$\mathcal{A}$一致闭.

注:$\mathcal{B}$为$\mathcal{A}$中所有一致收敛函数的极限构成的, 则$\mathcal{B}$为一致闭.

定理 设$\mathcal{B}$为有界函数的$\mathcal{A}$的一致闭包, 则$\mathcal{B}$为一致闭的代数.

定义(可分离的) 设$\mathcal{A}$为集合$D$上的函数集合, 若$\forall x_1, x_2\in D$且$x_1\neq x_2$, $\exist f\in \mathcal{A}$, 满足$f(x_1)\neq f(x_2)$, 称$\mathcal{A}$可分离$D$的.

定义(非退化的) 设$\mathcal{A}$为$D$上的函数集, 若$\forall x \in D, \exist h \in \mathcal{A}$, s. t. $h(x)\neq 0$, 称$\mathcal{A}$非退化的.

引理 设$\mathcal{A}$为集合$D$上的代数, 非退化, 可分离$D$的, 那么$\forall x_1, x_2\in D, \forall c_1, c_2\in \mathbb{R}, \exist f \in \mathcal{A}$, s. t. $f(x_1)=c_1, f(x_2)=c_2$.

定理(Weierstrass-Stone) 设$\mathcal{A}$为定义在紧集$D(\subset \mathbb{R}^n)$上的实值连续函数构成的代数, $\mathcal{A}$非退化, 且$\mathcal{A}$可分离$D$的, 则$\mathcal{A}$在$C(D)$中稠密的, 即$\forall f \in C(D), \epsilon>0, \exist g\in \mathcal{A}$, s. t. $|f(t)-g(t)|<\epsilon$.

3. Müntz逼近定理

定理(Müntz逼近定理) 设$0=\lambda_0<1\leq \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \nearrow +\infin$, 则
$\mathcal{A}=<1, x^{\lambda_1}, x^{\lambda_2}, \cdots>$在$C([0, 1])$中稠密$\Leftrightarrow$ $\sum_{i=1}^{\infin}\frac{1}{\lambda_i}=+\infin$.

14.8 Weierstrass处处连续处处不可导的函数

定理(Weierstrass) 设$0<a<1, b$为一奇整数, 且$ab>1+\frac{3}{2}\pi$, 那么

$$f(x)=\sum _{k=0}^{\infin} a^k\cos(b^k\pi x)\in C(\mathbb{R})$$

但是$f(x)$处处不可导.

定理(van der Warden) 设

$$\sigma_0(x)= \begin{cases} x-2n, 2n\leq x \leq 2n+1 \\ 2n+2-x, 2n+1\leq x \leq 2n+2 \end{cases} , \sigma_k(x)=\left(\frac{3}{4}\right)^k\sigma_0(4^kx)$$

那么$f(x)=\sum_{k=0}^{\infin}\sigma_k(x)$处处连续但处处不可导.

Chapter 15. 含参变量的积分

15.1 含参变量的常义积分

定义(含参变量的积分) 设$f\in C([a, b]\times[c, d])$, 定义

$$F(y)=\int_a^b f(x, y)dx \in C([c, d])$$

为含参变量$y$的积分.

注: 我们有

$$\lim_{y\to y_0}\int_a^b f(x, y)dx=\int_a^b\lim_{y\to y_0}f(x, y)dx$$

定理 设$f, f_y\in C([a, b]\times[c, d])$, 则

$$F(y)=\int_a^bf(x, y)dx\in C^1([c, d])$$

且

$$F'(y)=\frac{d}{dy}\int_a^bf(x, y)dx=\int_a^bf_y(x, y)dx$$

定理 设$f(x, y)\in C([a, b]\times[c, d])$, $\alpha , \beta \in C([a, b];[c, d])$, 则

$$F(y)=\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)}f(x, y)dx\in C([c, d])$$

定理 设$f, f_y\in C([a, b]\times[c, d])$, $\alpha , \beta \in C^1([a, b];[c, d])$, 则

$$\begin{aligned} F'(y)=&\frac{d}{dy}\left(\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)}f(x, y)dx\right)\\ =&\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)}f_y(x, y)dx+\beta'(y)f(\beta(y), y)-\alpha'(y)f(\alpha(y), y) \end{aligned}$$

定理 设设$f\in C([a, b]\times[c, d])$, 则

$$\int_c^d\int_a^bf(x, y)dxdy=\int_a^b\int_c^df(x, y)dydx$$

15.2 含参变量的广义积分

定义(含参变量的广义积分) 形如

$$F(y)=\int_a^{\omega}f(x,y)dx$$

其中$\omega=\pm \infin$或$\omega=b$为瑕点, 称为含参变量的广义积分.

定义(一致收敛) 设$f$定义在$[0,+\infin)\times D$上, 且$\forall y\in D$, $\int_a^{\omega}f(x,y)dx$收敛. 若$\forall \epsilon >0,\exist B\in [a,\omega)$, s.t. $\forall y\in D,b\in [B,\omega)$, 有$|\int_b^{\omega}f(x,y)dx|<\epsilon$,
称$\int_a^{\omega}f(x,y)dx$关于$y\in D$一致收敛.

定理(Cauchy收敛原理) 定义在$D$上的含参积分$\int_a^{\omega}f(x,y)dx$对$y\in E \subset D$一致收敛
$\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0,\exist \omega$, 在$[a,\omega)$中的领域$W$, s.t. $\forall b_1,b_2\in W$, 有

$$\left|\int_{b_1}^{b_2}f(x,y)dx\right|<\epsilon ,\quad \forall y\in E$$

推论 设$f\in C([a,\omega)\times [c,d])$, $\forall y\in(c,d)$, $\int_a^{\omega}f(x,y)dx$收敛, 当$y=c$或$y=d$时广义积分$\int_a^{\omega}f(x,y)dx$发散, 则$\int_a^{\omega}f(x,y)dx$在$y\in E \subset (c,d)$中非一致收敛, 其中$c\in \overline{E}$.

定理 设$y\in D$, $f(x,y),g(x,y)$在$[a,b]\in[a,\omega)$可积, 且

$$|f(x,y)|\leq g(x,y),\quad\forall (x,y)\in[a,\omega)\times D$$

若$\int_a^{\omega}g(x,y)dx$关于$y\in D$一致收敛, 则$\int_a^{\omega}f(x,y)dx$关于$y\in D$一致收敛.

定理(Dirichlet与Abel判别法) 设$y\in D$, $f(x,y),g(x,y)$在$[a,b]\subset[a,\omega)$可积, 满足下列条件之一:
1)(Dirichlet)
i)$|\int_a^{\omega}f(x,y)dx|\leq M$, $\forall y\in D,b\in[a,\omega)$;
ii)$\forall y\in D$, $g(x,y)$关于$x\in[a,\omega)$单调, 且$g(x,y)\rightrightarrows0$.
或者
2)(Abel)
i)$\int_a^{\omega}f(x,y)dx$关于$y\in D$一致收敛;
ii)$\forall y\in D$, $g(x,y)$关于$x\in [a,\omega)$单调, 且$|g(x,y)|\leq M$.
则$\int_a^{\omega}f(x,y)g(x,y)dx$关于$y\in D$一致收敛.

15.3 含参广义积分的性质

1. 广义含参积分的极限

定理 设$\{f_n(x)\}$在$x\in[a,+\infin)$收敛于$g$, 满足:
1)$\forall A>a$, $f_n(x)$在$x\in[a,A]$一致收敛;
2)$\int_a^{+\infin} f_n(x)dx$关于$n$一致收敛.
则$g(x)$在$[a,+\infin)$可积, 并且

$$\lim_{n\to \infin} \int_a^{+\infin} f_n(x)dx=\int_a^{+\infin} \lim_{n\to \infin} f_n(x)dx=\int_a^{+\infin} g(x)dx$$

定理1 设$E\subset \mathbb{R}$, $f(x,u)$为定义在$[a,+\infin)\times E$的函数. 设$u_0$为$E$的极限点, 满足:
1)$\forall A>a$, $\lim_{E\ni u\to u_0}f(x,u)=g(x)\quad \forall x\in [a,A]$一致成立;
2)$\int_a^{+\infin} g(x,u)dx$关于$u\in E$一致收敛.
则$\int_a^{+\infin} g(x)dx$收敛, 且

$$\lim_{u\to u_0}\int_a^{+\infin} f(x,u)dx= \int_a^{+\infin} \lim_{u\to u_0} f(x,u)dx= \int_a^{+\infin} g(x)dx$$

2. 连续性

定理 设$f(x,u)$定义在$[a,+\infin)\times [\alpha,\beta]$上, $\int_a^{+\infin} f(x,u)dx$关于$u\in [\alpha,\beta]$收敛, 记$\varphi(u)=\int_a^{+\infin} f(x,u)dx$, 满足:
1)$f\in C([a,+\infin)\times [\alpha,\beta])$;
2)$\int_a^{+\infin} f(x,u)dx$关于$u\in [\alpha,\beta]$一致收敛.
则$\varphi(u)\in C([\alpha,\beta])$, 即

$$u\to u_0\in [\alpha,\beta],\quad \varphi(u_0)=\lim_{u\to u_0}\varphi(u)=\lim_{u\to u_0}\int_a^{+\infin} f(x,u)dx$$

注 以下我们约定$\varphi(u)=\int_a^{+\infin} f(x,u)dx$.

定理(Dini定理) 设$0\leq f\in C([a,+\infin)\times[\alpha,\beta])$且$\varphi(u)\in C([\alpha,\beta])$, 则$\int_a^{+\infin} f(x,u)dx$关于$u\in [\alpha,\beta]$一致收敛.

3. 可积性

定理2 设$[\alpha,\beta]$为有限区间, 满足:
1)$f\in C([a,+\infin)\times [\alpha,\beta])$;
2)$\int_a^{+\infin} f(x,u)dx$关于$u\in [\alpha,\beta]$一致收敛.
则$\varphi(u)$在$[\alpha,\beta]$可积, 且

$$\int_\alpha^\beta \int_a^{+\infin} f(x,u)dxdu=\int_\alpha^\beta \varphi(u)du=\int_a^{+\infin}\int_\alpha^\beta f(x,u)dudx$$

定理3 假设$f$满足:
1)$f\in C([a,+\infin)\times[\alpha,+\infin))$;
2)$\forall b>a,\beta>\alpha$,
$\int_a^{+\infin}f(x,u)dx$关于$u\in[\alpha,\beta]$一致收敛,
$\int_\alpha^{+\infin}f(x,u)du$关于$x\in[a,b]$一致收敛;
3)$\int_a^{+\infin} \int_\alpha^{+\infin}|f(x,u)|dudx$, $\int_\alpha^{+\infin}\int_a^{+\infin}|f(x,u)|dxdu$二者有一存在.
则另一积分也存在, 且

$$\int_a^{+\infin} \int_\alpha^{+\infin}f(x,u)dudx=\int_\alpha^{+\infin}\int_a^{+\infin}f(x,u)dxdu$$

定理 假设$f$满足:
1)$0\leq f\in C([a,+\infin)\times[\alpha,+\infin))$;
2)$\varphi(u)=\int_a^{+\infin}f(x,u)dx$关于$u\in[\alpha,+\infin)$连续,
$\psi(x)=\int_\alpha^{+\infin}f(x,u)du$关于$x\in[a,+\infin)$连续;
3)$\int_a^{+\infin} \int_\alpha^{+\infin}f(x,u)dudx$, $\int_\alpha^{+\infin}\int_a^{+\infin}f(x,u)dxdu$二者有一存在.
则另一积分也存在, 且

$$\int_a^{+\infin} \int_\alpha^{+\infin}f(x,u)dudx=\int_\alpha^{+\infin}\int_a^{+\infin}f(x,u)dxdu$$

4. 可微性

定理 $\int_a^{+\infin}f(x,u)dx$收敛, 满足:
1)$f,f_u\in C([a,+\infin)\times [\alpha,\beta])$;
2)$\int_a^{+\infin}f_u(x,u)$关于$u\in [\alpha,\beta]$一致收敛.
则$\varphi(u)\in C^1([\alpha,\beta])$, 且$\varphi'(u)=\int_a^{+\infin}f_u(x,u)dx$.

15.4 Gamma函数和Beta函数

定义(Gamma函数和Beta函数)
Gamma函数

$$\Gamma(s)=\int_0^{+\infin}t^{s-1}e^{-t}dt$$

Beta函数

$$\Beta(p,q)=\int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt$$

性质(Gamma函数)
1)$\Gamma(s)\in C^\infin ((0,+\infin))$;
2)$\forall s>0,\Gamma(s)>0,\Gamma(1)=1$;
3)$\forall s>0,\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$;
4)$\forall s>0,\ln\Gamma(s)$为凸函数(或者说Gamma函数是$\ln$凸的).

定理(Bohr-Mollerup) 设$f$满足:
1)$x>0$时$f(x)>0,f(1)=1$;
2)$\forall x>0,f(x+1)=xf(x)$;
3)$\forall x>0,\ln f(x)$为凸函数.
则$f$为Gamma函数.

性质(Beta函数)
1)$\forall p,q>0,\Beta(p+1,q)=\frac{p}{p+q}\Beta(p,q)$;
2)$\forall p,q>0,\Beta(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$;
3)$\Beta(p,q)\in C^\infin ((0,+\infin))$;
4)$\Beta(p,q)=\Beta(q,p)$;
5)$\Beta(p+1,q+1)=\frac{pq}{(p+q+1)(p+q)}\Beta(p,q)$.

定理(Legendre,倍元公式)

$$\Gamma(2s)=\frac{2^{2s-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(s)\Gamma(s+\frac{1}{2})$$

定理(余元公式) $p\in (0,1)$,那么

$$\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\Beta(p,1-p)=\frac{\pi}{\sin(p\pi)}$$

定理(n-dim球的体积与球面的面积) 我们有

$$\mu(B_n(a))=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}a^n$$

$$\mathrm{Area}(\mathbb{S}^{n-1})=n\mu(B_n)$$

Chapter 16. Fourier分析

16.1 热方程, 波动方程, 调和方程

这一节没什么用, 跳过.

16.2 Fourier级数

1. 正交性

定义(正交) 设$\{\phi_n\}$为复函数, 定义在$[a,b]$上, 若

$$\int_a^b \phi_n \overline{\phi_m}dx=0,\quad n\neq m$$

称$\{\phi_n\}$为正交函数列.
若还满足

$$\int_a^b \phi_n \overline{\phi_n}dx=1$$

称$\{\phi_n\}$为规范正交的.

2. Fourier级数的定义

定义(Fourier级数, 指数形式) 设$f$在$[a,b]$上可积或反常绝对可积, 记$L=|b-a|$, 称

$$f(n)\sim \sum_{n=-\infin}^{+\infin}\hat{f}(n)e^{i\frac{2\pi}{L}nx}$$

为$f$的Fourier级数, 其中

$$\hat{f}(n)=\frac{1}{L}\int_a^bf(x)e^{-i\frac{2\pi}{L}nx}dx$$

定义(Fourier级数, 三角函数形式) 设$f$在$[a,b]$上可积或反常绝对可积, 记$L=|b-a|$, 称

$$f(n)\sim \frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^{\infin}\left(a_n\cos(\frac{2\pi}{L}nx)+b_n\sin(\frac{2\pi}{L}nx)\right)$$

为$f$的Fourier级数, 其中

$$a_n=\frac{2}{L}\int_a^bf(x)\cos(\frac{2\pi}{L}nx)dx$$

$$b_n=\frac{2}{L}\int_a^bf(x)\sin(\frac{2\pi}{L}nx)dx$$

称为Fourier系数.

注
1)两种定义的关系

$$\hat{f}(n)=a_n+ib_n,\quad \hat{f}(-n)=a_n-ib_n$$

$$a_n=\frac{\hat{f}(n)+\hat{f}(-n)}{2},\quad b_n=\frac{\hat{f}(n)-\hat{f}(-n)}{2i}$$

2)为方便以下讨论, 我们约定$[a,b]=[-\pi,\pi]$.

引理(Riemann-Lebesgue) 设$f\in \mathcal{R}([a,b])$, 则

$$\lim_{\lambda\to+\infin}\int_a^bf(x)\cos\lambda xdx=0=\lim_{\lambda\to+\infin}\int_a^bf(x)\sin\lambda xdx$$

推论 设$\{a_n\},\{b_n\}$为某个可积或反常绝对可积函数的Fourier系数, 则

$$\lim_{n\to\infin}a_n=0,\quad \lim_{n\to\infin}b_n=0$$

16.3 Fourier级数的收敛性

1. 收敛性

定义(Dirichlet核) 称

$$D_n(x)=\frac{\sin(n+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{x}{2}}$$

为Dirichlet核.

性质 Fourier级数的部分和

$$S_n(x)=\sum_{k=-n}^n \hat{f}(n)e^{inx}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t)dt$$

定理(局部化定理) 设$f\in \mathcal{R}([-\pi,\pi])$, Fourier级数部分和$S_n(x_0)$是否收敛或收敛到何值仅与$x_0$点附近的行为有关.

定理(Dini判别法) 设$f$在$[-\pi,\pi]$上可积或反常绝对可积, 若$\exist s$, $x_0\in[-\pi,\pi]$, $\exist 0<\delta<\pi$, s.t.

$$\varphi(t)=\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-2s}{t}$$

在$[0,\delta]$上可积或反常绝对可积, 则

$$\lim_{n\to \infin}S_n(x_0)=s$$

定义(Hölder条件) 称$f$在$x_0$点满足Hölder条件(或$\alpha$阶Lipschitz条件), 若$\exist \delta>0,L>0,0<\alpha\leq 1$, s.t. 对于$|t|<\delta$, 有

$$|f(x_0+t)-f(x_0+0)|<L|t|^\alpha, \quad |f(x_0-t)-f(x_0-0)|<L|t|^\alpha$$

其中$f(x_0\pm0)=\lim_{x\to x_0\pm}f(x)$.

定理 设$f\in \mathcal{R}([-\pi,\pi]),x_0\in[-\pi,\pi]$满足Hölder条件, 则

$$\lim_{n\to\infin}S_n(x_0)=\frac{1}{2}(f(x_0+0)-f(x_0-0))$$

定义(分段可微) 记$a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$, $f$定义在$[a,b]$上, 定义

$$g_i(x)= \begin{cases} f(t_{i-1}+0),\quad x=t_{i-1}\\ f(x), \quad x\in(t_{i-1},t_i)\\ f(t_i-0),\quad x=t_i \end{cases}$$

若$g_i(x)$可微(端点处单侧可微), 称$f$在$[a,b]$上分段可微.

2. 周期延拓

定义(奇/偶延拓) 设$f$在$[0,l]$上可积.
1)$\tilde{f}(x)=\begin{cases}f(x),\quad x\in [0,l]\\f(-x),\quad x\in [-l,0]\end{cases}$称为偶延拓, 此时

$$f(x)\sim \frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^\infin a_n\cos \frac{\pi}{l}nx$$

2)$\tilde{f}(x)=\begin{cases}f(x),\quad x\in [0,l]\\-f(-x),\quad x\in [-l,0]\end{cases}$称为奇延拓, 此时

$$f(x)\sim \sum_{n=1}^\infin b_n\sin \frac{\pi}{l}nx$$

3. 卷积

定义(卷积) 设$f,g$是定义在$\mathbb{R}$上的函数, 周期为$2\pi$, 在$[-\pi,\pi]$上可积, 则称

$$(f*g)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)g(x-t)dt$$

为$f$与$g$的卷积, 记为$(f*g)(x)$.

注 利用卷积, 我们有

$$S_n(x)=\sum_{k=-n}^n \hat{f}(n)e^{inx}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t)dt=(f*D_n)(x)$$

性质(卷积) 设$f,g,h$是定义在$\mathbb{R}$上的函数, 周期为$2\pi$, 在$[-\pi,\pi]$上可积, 则
1)$f*(g+h)=f*g+f*h$;
2)$(cf)*g=f*(cg)=c(f*g)\quad \forall c\in\mathbb{C}$;
3)$f*g=g*f$;
4)$(f*g)*h=f*(g*h)$;
5)$f*g$连续;
6)$\widehat{f*g}(n)=\hat{f}(n)\hat{g}(n)$.

4. 函数的光滑性与Fourier级数的收敛速度

定理 设$f$在$[-\pi,\pi]$上$m$次可微, 且满足
1)$f^{(i)}(\pi)=f^{(i)}(-\pi),\quad i=0,1,\cdots,m-1$;
2)$f^{(m)}(x)$在$[-\pi,pi]$分段连续.
则$f$的Fourier级数收敛且一致收敛, 且

$$|f-S_n(x)|<\frac{\epsilon_n}{n^{m-\frac{1}{2}}}$$

其中$\epsilon_n>0$且$\lim_{n\to\infin}\epsilon_n=0$.

16.4 Fourier级数的Cesàro与Abel求和

1. Cesàro求和

定义(Cesàro和) 设$\sum_{n=1}^\infin a_n$为无穷级数, 部分和$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$,

$$\sigma_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n S_k$$

称为$\sum_{n=1}^\infin a_n$的$n$次Cesàro和或$\{a_n\}$的$n$次Cesàro平均. 若

$$\lim_{n\to\infin}\sigma_n=\sigma\in\mathbb{R}$$

则称$\sum_{n=1}^\infin a_n$在Cesàro求和意义下收敛到$\sigma$,记为

$$\sum_{n=1}^\infin a_n=\sigma\quad(C)$$

此时称$\sum_{n=1}^\infin a_n$是Cesàro可求和的.

2. Fejèr核

定义(Fejèr核) 设$f\in \mathcal{R}([-\pi,\pi])$, 其形式Fourier级数为$\sum_{n=-\infin}^{+\infin} \hat{f}(n)e^{inx}$,

$$D_k(x)=\frac{\sin(k+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{x}{2}}$$

为Dirichlet核, 定义

$$F_n(x)=\frac{1}{n}(D_0(x)+D_1(x)+\cdots+D_{n-1}(x))$$

为Fejèr核.

命题 我们有

$$F_n(x)=\frac{1}{n}\frac{\sin^2\frac{nx}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}}$$

注 由卷积和Fejèr核的定义可知

$$\sigma_n(x)=\frac{1}{n}(S_0(x)+\cdots+S_{n-1}(x))=(f*F_n)(x)$$

3. 好核

定义(好核) 设$\{K_n(x)\}$为$[-\pi,\pi]$上一簇可积函数, 周期为$2\pi$, 满足
1)$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi K_n(x)dx=1$;
2)$\exist M>0$, s.t. $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |K_n(x)|dx\leq M$;
3)$\forall \delta>0$, $\lim_{n\to\infin}\int_{\delta\leq|x|\leq\pi}|K_n(x)|dx=0$.
称$\{K_n(x)\}$为一簇好核.

命题 我们有
1)Fejèr核是好核;
2)Dirichlet核不是好核.

定理 设$f$为$\mathbb{R}$上函数, 周期为$2\pi$, $f\in \mathcal{R}([-\pi,\pi])$, 若$x_0$为$f$的连续点或第一类间断点, 则$f$的Fourier级数在Cesàro求和意义下收敛到$\frac{1}{2}(f(x_0+0)+f(x_0-0))$.

推论 设$f$为$\mathbb{R}$上函数, 周期为$2\pi$, $f\in \mathcal{R}([-\pi,\pi])$, 若$f$的Fourier系数为$0$, 则$f$在连续点为$0$.

性质(Fourier级数的唯一性) 设$f,g$为$\mathbb{R}$上函数, 周期为$2\pi$, $f,g\in \mathcal{R}([-\pi,\pi])$, 若$f,g$的Fourier系数相同, 则$f=g$几乎处处成立.

定理(Weierstrass) 设$f$在$[-\pi,\pi]$连续, $f(-\pi)=f(\pi)$, 则存在三角多项式一致逼近$f$.

4. Abel求和

定义(Abel求和) 设$\sum_{n=1}^{\infin}a_nr^n$在$0\leq r<1$时收敛到$A(r)$, 若

$$\lim_{r\to 1-}A(r)=S\in \mathbb{R}$$

则称$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$在Abel求和意义下收敛, 称$S$为$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$的Abel和.

注 由Abel第二定理, 若$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$在通常意义下收敛, 则在Abel求和意义下也收敛.

定理 若$\sum_{n=1}^{\infin}a_n$在Cesàro求和意义下收敛, 则在Abel求和意义下也收敛.

5. Poisson核与单位圆盘上Laplace方程的求解

定义(Poisson核) 设$f$是$\mathbb{R}$上以$2\pi$为周期的函数, 在$[-\pi,\pi]$上可积. 考虑

$$f(\theta) \sim \sum_{n=-\infin}^{+\infin}A_ne^{in\theta},\quad A_n=\hat{f}(n)$$

$$A_r(f)(\theta)= \sum_{n=-\infin}^{+\infin}A_ne^{in\theta}r^{|n|}$$

由于$f$可积, $|A_n|\leq M$, 那么$\forall n$, $A_r(f)$对于$0\leq r <1$绝对收敛且一致收敛, 从而定义

$$P_r(\theta)=\sum_{n=-\infin}^{+\infin}e^{in\theta}r^{|n|}$$

为Poisson核.

注 利用卷积

$$A_r(f)(\theta)=(f*P_r)(\theta)$$

性质 对于Poisson核,
1)

$$P_r(\theta)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta+r^2}$$

2)Poisson核为好核.

定理 在圆周上的可积函数$f$, 在$f$的连续点, 其Fourier级数在Abel求和意义下收敛, 若$f$在圆周上连续, 则一致收敛.

定义(调和方程) 以下方程为调和方程(Laplace方程):
记$D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|x^2+y^2<1\}$, $\mathbb{S}^1=\partial D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|x^2+y^2=1\}$,

$$\begin{cases} \Delta u(x,y)=0,\quad (x,y)\in D\\ u(x,y)=f,\quad (x,y)\in \mathbb{S}^1\\ \end{cases}$$

其中$f$为$\mathbb{S}^1$上给定的可积函数.

定理 设$f$为$\mathbb{S}^1$上可积函数, 令$u(r,\theta)=(f*P_r)(\theta)$, 则有:
1)$u$在$D$内具有二阶连续偏导数($C^\infin$)且$\Delta u=0$;
2)若$\theta$为$f$的连续点, 则$r\to1-$时$u(r,\theta)\to f(\theta)$,
若$f$在$\mathbb{S}^1$上连续, 则$r\to1-$时$u(r,\theta)\rightrightarrows f(\theta)$;
3)若$f$连续, 则$u(r,\theta)$为满足1)和2)的方程的特解.

16.5 平方平均逼近

1. 向量空间与内积

定义(实内积空间) 设$V$为$\mathbb{R}$上的向量空间, 双线性函数$<\cdot,\cdot>:V\times V\to \mathbb{R}$满足:
1)$\forall u,v\in V$, $<u,v>=<v,u>$;
2)$<u,u>\geq 0$, 且$<u,u> =0\Leftrightarrow u=0$.
称$<\cdot,\cdot>$为$V$上的内积, $V$为内积空间, 记为$(V,<\cdot,\cdot>)$.
若将2)改为$<u,u>\geq 0$, 此时称为半线性空间.

定义(Hermite内积) 设$V$为$\mathbb{C}$上的复向量空间, $<\cdot,\cdot>:V\times V\to \mathbb{C}$满足:
1)$<\alpha u+\beta v,w> =\alpha<u,w>+\beta<v,w>$;
2)$<u,v>=\overline{<v,u>}$;
3)$<u,u>\geq 0$, 且$<u,u> =0\Leftrightarrow u=0$.
称$<\cdot,\cdot>$为Hermite内积, $(V,<\cdot,\cdot>)$为内积空间.

定义 设$(V,<\cdot,\cdot>)$为内积空间,
若$u,v\in V$, $<u,v>=0$, 称$u$与$v$正交的, 记为$u\bot v$;
若$V$为$\mathbb{R}$上内积空间, $u,v\neq 0$时定义向量的夹角

$$\cos \theta=\frac{<u,v>}{\sqrt{<u,u>}\sqrt{<v,v>}}$$

$\forall u\in V$, 定义$u$的范数$||u||=\sqrt{<u,u>}$, 可以验证其满足
1)$|<u,v>|\leq ||u||+||v||$;
2)$||u+v||\leq ||u||+||v||$.

定义(Hilbert空间) 设$(V,<\cdot,\cdot>)$为内积空间, 若$V$上每个Cauchy列均收敛到$V$中的向量, 称$(V,<\cdot,\cdot>)$为完备的内积空间, 也称Hilbert空间.

2. 均方逼近

引理 定义如下$V=\mathcal{R}([-\pi,\pi])$(可以为复值)上的半Hermite内积:

$$<f,g> =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g}(x)dx$$

$\{e^{inx}|n\in \mathbb{Z}\}$为$V$的单位正交向量. 对$f\in V$,

$$f\sim \sum_{n=-\infin}^{+\infin}\hat{f}(n)e^{inx},\quad \hat{f}(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{inx}dx=<f,e^{inx}>$$

$$S_n(f)(x)=\sum_{k=-n}^{n}A_ke^{ikx},\quad A_k:=\hat{f}(k)$$

设$V_n=\mathrm{Span}\{e^{-inx},\cdots,e^{inx}\}$, 那么$S_n(f)$为$f$在$V_n$上的投影, 即$<f-S_n(f)(x),e^{ikx}>=0$, $\forall k=0,\pm1,\cdots,\pm n$. 于是

$$||f||^2=||f-S_n(f)||^2+||S_n(f)||^2=||f-S_n(f)||^2+\sum_{k=-n}^{n}|A_k|^2$$

命题(最佳逼近) 按照上述定义, $\forall B_{-n},\cdots,B_n\in\mathbb{C}$,

$$||f-S_n(f)||\leq||f-\sum_{k=-n}^{n}B_ke^{ikx}||$$

注 在上式取$B_k=0,\quad k=0,\pm1,\cdots,\pm n$, 可以得到Bessel不等式

$$\sum_{n\in\mathbb{Z}}|A_n|^2\leq ||f||^2$$

或者写成实的形式

$$\frac{1}{2}a_0^2+\sum_{n=1}^{\infin}(a_n^2+b_n^2)\leq ||f||^2$$

定理(均方逼近) 设$f\in \mathcal{R}([-\pi,\pi])$, $f\sim \sum_{n=-\infin}^{+\infin}A_ne^{inx}$, 则
1)$n\to+\infin$时,

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f-S_n(f)|^2dx\to0$$

2)(Parseval等式)

$$||f||^2=\sum_{n=-\infin}^{+\infin}|A_n|^2$$

推论 设$f,g\in \mathcal{R}([-\pi,\pi])$, $f\sim \sum_{n=-\infin}^{+\infin}A_ne^{inx}$, $g\sim \sum_{n=-\infin}^{+\infin}B_ne^{inx}$, 则

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\overline{g}dx=\sum_{n=-\infin}^{+\infin}A_n\overline{B_n}$$

3. Fourier级数的逐项积分

定理 设$f\in \mathcal{R}([-\pi,\pi])$, $f\sim \sum_{n\in \mathbb{Z}}A_ne^{inx}$, 则$\forall (a,b)\subset [-\pi,\pi]$, 有

$$\frac{1}{2\pi}\int_a^b f(x)dx=\sum_{n\in\mathbb{Z}}A_ne^{inx}dx=\frac{1}{2}\int_a^ba_0dx+\sum_{n=1}^{\infin}\int_a^b(a_n\cos nx+b_n\sin nx)dx$$

16.6 Parseval等式的应用

1. 等周(isoperimetric)不等式

定义(简单闭曲线, 正则曲线) 曲线$\gamma:[a,b]\to \mathbb{R}^2,\quad t\mapsto \gamma(t)=(x(t),y(t))$,
1)简单闭曲线: 无自交点, 即$t_1\neq t_2$, $\gamma(t_1)\neq\gamma(t_2)$; 闭曲线: $\gamma(a)=\gamma(b)$.
2)正则(光滑)曲线: $|\gamma'(t)|=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\neq0$.

注 对于简单闭曲线$\gamma$围成的区域$D$的面积$A$
由Green公式,

$$A=\int_\gamma xdy=-\int_\gamma ydx=\frac{1}{2}\int_\gamma xdy-ydx$$

考虑微分形式:
$\omega=xdy,\quad d\omega=dx\wedge dy$
$\omega=ydx,\quad d\omega=dy\wedge dx=-dx\wedge dy$
$\omega=xdy,\quad d\omega=dx\wedge dy$
我们有

$$A=\int_\gamma \omega=\int_D d\omega$$

考虑向量场$X=(x,y)$, 那么$\mathrm{div}X=\frac{\partial}{\partial x}x+\frac{\partial}{\partial y}y=2$, 我们有

$$A=\frac{1}{2}\int_D \mathrm{div}Xdxdy=\int_\gamma <x,\nu>d\sigma$$

定理(Wirtinger不等式) 设$f$为$\mathbb{S}^1$上的连续可微函数, 则

$$\int_0^{2\pi}(f-\overline{f})^2dx\leq \int_0^{2\pi}f'^2dx$$

其中$\overline{f}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x)dx$.
等号成立当且仅当$f=\overline{f}+a\cos x+b\sin x$.

定理(等周不等式) 设$\gamma:[0,L]\to \mathbb{R}^2,\gamma(0)=\gamma(L)$为简单闭曲线, $\gamma$围成区域为$D$, $\gamma$周长为$L$, $D$面积为$A$, 则

$$4\pi A\leq L^2$$

等号成立当且仅当$\gamma$是半径为$\frac{L}{2\pi}$的圆周.

2. Weyl等分布定理

定义 我们记$[x]$为不超过$x$的最大整数, $<x> =x-[x]$为$x$的小数部分.

定理(Dirichlet) 设$\alpha\in \mathbb{R}_+$, $N\in \mathbb{N}$, 则$\exist p,q\in \mathbb{N}$, $1\leq q\leq N$, 满足

$$|q\alpha-p|\leq \frac{1}{N}$$

定理(Kroneck) 设$\alpha\in \mathbb{R\setminus Q}$, 则$\{<m\alpha>|m\in\mathbb{N}\}$在$[0,1)$中稠密, 即$\forall (a,b)\subset [0,1)$非空, $\{<m\alpha>|m\in\mathbb{N}\}\cap (a,b)\neq \emptyset$.

定义(等分布) 若$\{\xi_i\}\subset[0,1]$满足: $\forall(a,b)\subset[0,1]$,

$$\lim_{n\to\infin}\frac{\#\{1\leq k\leq n,\xi_k\in(a,b)\}}{n}=b-a$$

称$\{\xi_n\}$在$[0,1]$等分布的.

引理 设$f$为$\mathbb{R}$上周期为$1$的连续函数, $\gamma\in \mathbb{R\setminus Q}$, 则

$$\lim_{n\to\infin}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(k\gamma)=\int_0^1f(x)dx$$

定理(Wyel) 设$\gamma\in \mathbb{R\setminus Q}$, 则$\{<n\gamma>\}_{n\geq 1}$在$[0,1]$等分布的.

16.7 Fourier变换与Fourier积分

1. Fourier变换与Fourier积分

定义(Fourier变换与Fourier积分) 设$f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$, 若广义积分的Cauchy主值存在, 即

$$A(\xi)=\frac{1}{2\pi}\lim_{A\to+\infin}\int_{-A}^{A}f(x)e^{-in\xi}dx$$

存在, 则称其为$f$的Fourier变换, 记成$\mathcal{F}[f](\xi)$. 称

$$\int_{-\infin}^{+\infin}\mathcal{F}[f](\xi)e^{ix\xi}d\xi$$

为$f$的Fourier积分.

注 若广义积分的Cauchy主值存在,

$$a(\xi)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}f(x)\cos (x\xi)dx$$

$$b(\xi)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}f(x)\sin (x\xi)dx$$

则

$$A(\xi)=\frac{1}{2}(a(\xi)-ib(\xi)),\quad A(-\xi)=\frac{1}{2}(a(\xi)+ib(\xi))$$

$$\int_0^{+\infin}A(\xi)e^{i\xi x}d\xi+\int_0^{+\infin}A(-\xi)e^{-i\xi x}d\xi=\int_0^{+\infin}(a(\xi)\cos\xi x+b(\xi)\sin\xi x)d\xi$$

我们称$a(\xi)$为Fourier余弦变换, $b(\xi)$为Fourier正弦变换.

2. Fourier变换与Fourier积分的性质

定理 若$f$在$(-\infin,+\infin)$上绝对可积, 则$\mathcal{F}[f]$在$(-\infin,+\infin)$上一致连续.

注 由Riemann-Lebesgue引理

$$\lim_{\xi\to\infin}\mathcal{F}[f](\xi)=0$$

引理 设$f$在$(-\infin,+\infin)$上绝对可积, $\forall A>0$, 令

$$\begin{aligned} S(A,x)&=\int_{-A}^{A}\mathcal{F}[f](\xi)e^{ix\xi}d\xi \\ &=\int_{-A}^{A}(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}f(y)e^{-iy\xi}dy)e^{ix\xi}d\xi \\ \end{aligned}$$

那么有

$$S(A,x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}(f(x+y)+f(x-y))\frac{\sin Ay}{y}dy$$

定理(Fourier积分的局部化定理) 设$f$在$(-\infin,+\infin)$上绝对可积, 则$f$的Fourier积分在$x$点是否收敛以及收敛到何值完全取决于$x$附近的值.

定理(Fourier积分的Dini判别法) 设$f$在$(-\infin,+\infin)$上绝对可积, $s\in\mathbb{R}$, 设$\varphi(t)=f(x_0+t)-f(x_0-t)-2s$,
若$\frac{\varphi(t)}{t}$在$[0,\delta]$可积且绝对可积, 则$f$的Fourier积分在$x_0$点收敛到$s$.

定理 设$f$绝对可积,
若$f$在$x_0$点满足$\alpha$阶Lipschtz条件(或Hölder条件), 即$L>0,\alpha\in(0,1]$,

$$|f(x_0-t)-f(x_0-0)|\leq Lt^\alpha,\quad |f(x_0+t)-f(x_0+0)|\leq Lt^\alpha$$

则$f$的Fourier积分在$x_0$点收敛到$\frac{1}{2}(f(x_0+0)+f(x_0-0))$;
若$f$在$x_0$点存在广义的左右导数($f$在$x_0$点有限),
则$f$的Fourier积分在$x_0$点收敛到$\frac{1}{2}(f(x_0+0)+f(x_0-0))$.

3. Fourier变换与下降速度

定义(规范的Fourier变换) 规范的Fourier变换为

$$\hat{f}(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}f(x)e^{-ix\xi}dx$$

Fourier变换的逆变换(反演变换)为

$$\tilde{f}(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}f(x)e^{ix\xi}dx$$

注 若$f$分段可微且绝对可积, 有

$$\tilde{\hat{f}}=\hat{\tilde{f}}=f$$

定理(函数的光滑性与衰减速度) 设$f\in C^{(n)}(\mathbb{R},\mathbb{C})$, 且$f,f',\cdots,f^{(n)}$在$\mathbb{R}$上绝对可积, 则
1)$\widehat{f^{(k)}}(\xi)=(i\xi)^k\hat{f}(\xi),\quad k=0,1,\cdots,n$;
2)$\xi\to\infin$时$\hat{f}(\xi)=\omicron(\frac{1}{\xi^n})$.

注 上述1)2)分别说明了:Fourier变换将求导变为乘法; $f$越光滑, 在无穷远处衰减的越快.

定理 设$f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$在任何有界区域可积, 且$f(x),x^nf(x)$绝对可积, 那么
1)$\hat{f}\in C^{(n)}(\mathbb{R},\mathbb{C})$;
2)$\hat{f}^{(k)}(\xi)=(-1)^k\widehat{x^kf}(\xi)$.

4. Schwartz空间

定义(Schwartz空间) Schwartz空间$S(\mathbb{R})$(或$S(\mathbb{R},\mathbb{C}),\varphi(\mathbb{R})$)定义为

$$S(\mathbb{R})=\{f\in C^\infin (\mathbb{R},\mathbb{C}):\forall k,m\geq0,\sup|x^k||f^{(n)}(x)|<+\infin\}$$

注 若$f$满足$\sup|x^k||f(x)|<\infin$, 称$f$是速降函数.

定理 若$f\in S(\mathbb{R})$, 则$\hat{f}\in S(\mathbb{R})$.

定理 设$f,g\in S(\mathbb{R})$, 则$<f,g>=<\hat{f},\hat{g}>$. 其中

$$<f,g> =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}f(x)\overline{g(x)}dx$$

定理(Plancherel) 设$f\in S(\mathbb{R})$, 则$||f||=||\hat{f}||$. 其中

$$||f||^2=<f,f>$$

推论 $\mathcal{F}:S(\mathbb{R})\to S(\mathbb{R})$是线性同构.

5. 卷积与Fourier变换

定义(卷积) 设$f,g\in S(\mathbb{R})$, 定义其卷积

$$(f*g)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}f(t)g(x-t)dt$$

定理 设$f,g\in S(\mathbb{R})$, 则
1)$f*g\in S(\mathbb{R})$;
2)$f*g=g*f$;
3)$\widehat{f*g}=\hat{f}\cdot\hat{g}$.

6. Fourier变换解方程

性质 设$a_1,\cdots,a_n\in\mathbb{R}$, 常微分方程

$$u^{(k)}(x)+a_1u^{(n-1)}(x)+\cdots+a_{n-1}u'(x)+a_nu(x)=f(x)$$

由$\widehat{u^{(k)}}(\xi)=(i\xi)^k\hat{u}(\xi)$, 可知方程变为

$$\hat{f}(\xi)=\hat{u}(\xi)((i\xi)^n+a_1(i\xi)^{n-1}+\cdots+a_{n-1}(i\xi)+a_n)=\hat{u}(\xi)P(i\xi)$$

从而

$$\hat{u}(\xi)=\hat{f}(\xi)\frac{1}{P(\xi)}$$

定义(热方程) 热方程$u=u(x,t)$

$$\begin{cases} u_t=a^2u_{xx}\\ u(x,0)=f(x) \end{cases}$$

其中$a>0,x\in\mathbb{R}$.

定义(热核) 热核

$$\mathcal{H}(x,t)=\frac{1}{a\sqrt{2t}}e^{-\frac{x^2}{4a^2t}}$$

性质 热核有以下性质:
1)$\hat{\mathcal{H}}(\xi,t)=e^{-a^2\xi^2t}$;
2)$t\to0$时热核为好核.

16.8 Poisson求和与应用

1. Poisson求和公式

定理(Poisson求和公式) 设$f\in S(\mathbb{R})$, 有

$$\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(x+2n\pi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{f}(n)e^{inx}$$

注 Poisson求和对满足下述的$f$也成立:
$f$为$\mathbb{R}$上的连续函数, 分段连续可微, 即$\exist x_1<x_2<\cdots<x_n$, $f$在$[x_{i-1},x_i]$上$C^1$, 记

$$\varphi(x)=\begin{cases}f'(x),\quad x\in(x_{i-1},x_i)\\f'(x_i-0),\quad x=x_i\end{cases}$$

若$x^2f(x)$和$x^2\varphi(x)$有界, 则$\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(x+2\pi n)$内闭一致收敛到$g(x)$, $\sum_{n\in\mathbb{Z}}\varphi(x+2\pi n)$内闭一致收敛到$\psi(x)$.

2. 圆周上的热方程

定理 对于圆周上的热方程

$$\begin{cases}u_t(x,t)=a^2u_{xx}(x,t)\\u(x,0)=f(t)\end{cases}$$

$u(x,t)=(f*H_t)(x)$为热方程的解, 其中

$$H_t(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-a^2n^2t}e^{inx}\in C^\infin$$

并且$t\to0$时$\{H_t(x)\}$为好核.

3. Theta, Xi与Zeta函数

定义(Theta函数) Theta函数

$$\vartheta(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi n^2t},\quad t>0$$

定理(Theta函数的反演公式) 我们有

$$\vartheta(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}\vartheta(\frac{1}{t})$$

命题 对于Theta函数,
1)$t\to0+$时, $\vartheta(t)\leq ct^{-\frac{1}{2}}$;
2)$t\geq1$时, $|\vartheta(t)-1|\leq ce^{-\pi t}$.

定义(Xi函数) Xi函数

$$\xi(s)=\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\zeta(s)$$

其中

$$\Gamma(s)=\int_0^{+\infin}t^{s-1}e^{-t}dt$$

$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}$$

命题 $s>1$时(或者$\mathbb{C}$上$\Re s>1$时), 有
1)

$$\xi(s)=\int_o^{+\infin}t^{\frac{s}{2}-1}\tilde{\vartheta}(t)dt$$

其中$\tilde{\vartheta}(t)=\frac{1}{2}(\vartheta(t)-1)$;
2)$\xi(s)=\xi(1-s)$.

注(Riemann Zeta函数的延拓) 利用$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$可将$\Gamma(s)$延拓为$\mathbb{C}$上的亚纯函数(即有单极点$s=0,-1,-2,\cdots$但没有零点), 而$\xi(s)$仅有极点$s=0,1$, 于是可将$\zeta(s)$延拓成$\mathbb{C}$上的亚纯函数, 只有单极点$s=1$, 且$\zeta(0)=-\frac{1}{2}$.
$s=-2m,m\geq 1$为$\zeta$的平凡零点. Riemann猜想即是: $\zeta(s)$的非平凡零点位于$\Re s=\frac{1}{2}$上.

16.9 Fourier积分和Fourier变换的注记

1. Heisenberg测不准原理

定理 设$\psi\in S(\mathbb{R})$, 且$\int_{-\infin}^{+\infin}|\psi|^2dx=1$, 则$\forall x_0,\xi_0\in\mathbb{R}$,

$$(\int_{-\infin}^{+\infin}(x-x_0)^2|\psi|^2dx)(\int_{-\infin}^{+\infin}(\xi-\xi_0)^2|\hat{\psi}|^2d\xi)\geq\frac{1}{4}$$

等号成立当且仅当$\psi=Ae^{-Bx^2}$, 其中$|A|=\sqrt{\frac{B}{2\pi}}$, $B>0$.

注 $\psi$为粒子的波函数时前者为粒子位置不确定度的平方, 后者为动量不确定度的平方, 于是不等式给出了Heisenberg测不准原理.

2. 上半平面上的热方程

定理 记函数空间

$$L_{bc}^1(\mathbb{R})=\{f\in C(\mathbb{R}):f有界且\int_{-\infin}^{+\infin}|f(x)|dx<+\infin\}$$

此时$f*g\in L_{bc}^1(\mathbb{R})$, $\widehat{f*g}=\hat{f}\cdot\hat{g}$;
若$f,xf\in L_{bc}^1(\mathbb{R})$, 则$\hat{f}\in C^1(\mathbb{R})$, $\hat{f}'(\xi)=-i\widehat{xf}(\xi)$;
若$f\in C^1(\mathbb{R})$, $f,f'\in L_{bc}^1(\mathbb{R})$, 则$\widehat{f'}(\xi)=i\xi\hat{f}(\xi)$;
若$f,\hat{f}\in L_{bc}^1(\mathbb{R})$, 则$\tilde{\hat{f}}=f$.

定理(Plancherel) 设$f\in L_{bc}^1(\mathbb{R})$, 则

$$f,\hat{f}\in L_{bc}^2(\mathbb{R})=\{h\in C(\mathbb{R}):h有界且\int_{-\infin}^{+\infin}|h(x)|^2dx<+\infin\}$$

并且

$$\int_{-\infin}^{+\infin}|f(x)|^2dx=\int_{-\infin}^{+\infin}|\hat{f}(\xi)|^2d\xi$$

注 核函数

$$\mathcal{P}_t(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-t|\xi|}e^{i\xi x}d\xi=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{2t}{x^2+t^2},\quad t>0$$

则$\{\mathcal{P}_t(x)\}$为一族好核(也称Poisson核), 且上半平面上热方程的解$u(x,y)=f*\mathcal{P}_y(x)$.

3. Gibbs现象

定义(Gibbs现象) 在$f$的间断点附近, Fourier级数的部分和的图像有一震荡区域, 其振幅的极限并不等于$f$在此间断点处的振幅, 两者的差约等于后者的$18\%$.