ODE笔记-一阶ODE

这篇文章是 UncleBob 的 ODE (常微分方程) 中一阶 ODE 的基础核心理论部分笔记.

一阶ODE的基础核心理论

解的存在性 (Peano定理)

Euler折线法

以初值问题$\dot{x}=x;\quad x(0)=1$为例:
我们希望求得其解$\varphi(t)$在某个$t_0>0$的取值, 我们去$n$很大, 记$\delta :=t_0/n$.
方向场在$(0,1)$放置的线段斜率为$1$, 在$[0,\delta]$定义函数$\phi_n(t)=1+t$, 在右端点处$\phi_n(\delta)=1+\delta$.
方向场在$(\delta,1+\delta)$放置的线段斜率为$1+\delta$, 在$[\delta,2\delta]$定义函数$\phi_n(t)=(1+\delta)+(1+\delta)(t-\delta)$, 在右端点处$\phi_n(2\delta)=(1+\delta)^2$.
重复这个过程直到$\phi_n$在整个$[0,t_0]$定义好. 我们有

$$\phi_n(t_0)=\phi_n(n\delta)=(1+\delta)^n=(1+\frac{t_0}{n})^n$$

当$n\to +\infin$, 有$\phi_n(t_0)\to e^{t_0}$. 实际上在任何紧区间$\phi_n(t)\rightrightarrows e^t$.
这种逼近解的方式称作Euler折线法.

Peano定理

$U\subset \mathbb{R}^{d+1}$开, $f:U\to \mathbb{R}^d$连续, $(t_0,x_0)\in U$, 则IVP$\begin{cases} \dot{x}=f(t,x)\\ x(t_0)=x_0 \end{cases}$的解一定在$t_0$的一个小领域存在.

定理 (Arzelà-Ascoli)
设$\{f_n:n\geq 1\}$是紧区间$I$上一列在$\mathbb{R}^d$中取值的向量值连续函数, 满足一致有界性质和等度连续性质, 则存在子列$n_k\to\infin$以及$I$上的连续函数$f$, 使得$f_{n_k}\rightrightarrows f$.

注
等度连续: $\forall \epsilon>0$, $\exist \delta >0$, s.t. $|x-x'|<\delta$时$\forall n$, 有$f_n(x)-f_n(x')|<\epsilon$.

定理 (Peano)
设$f:U\to \mathbb{R}^d$连续, 取$\rho,\eta >0$使得$C_{\rho,\eta}\subset U$, 定义$M:=\max\{|f(t,x)|:(t,x)\in C_{\rho,\eta}\}$, 那么IVP$\begin{cases} \dot{x}=f(t,x)\\ x(t_0)=x_0 \end{cases}$在区间$[t_0-\epsilon,t_0+\epsilon]$内至少有一个解, 这里$\epsilon=\min\{\rho,\eta/M\}$.

证明 这里只给出大纲, 具体过程略过
第一步: 利用Euler折线法构造一列逼近解$\phi_n(t)$;
第二步: 利用Arzelà-Ascoli定理找到目标解$\phi$;
第三步: 证明$\phi$是IVP在区间$[t_0,t_0+\epsilon]$上的解.

解的唯一性(Picard迭代)

解的积分形式

设$\phi:I\to \mathbb{R}^d$连续, 其图像$\Gamma_{\phi}\subset U$, 则$\phi$为IVP$\begin{cases} \dot{x}=f(t,x)\\ x(t_0)=x_0 \end{cases}$的解当且仅当其满足积分方程

$$\phi(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\phi(\tau))d\tau$$

压缩映射原理

度量空间

定义
设$X$非空, $d:X\times X\to [0,+\infin)$满足:

1. 正定性: $d(x,y)=0$当且仅当$x=y$;
2. 对称性: $d(x,y)=d(y,x)$;
3. 三角不等式: $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.

则称$d$时$X$上的一个度量.

定义
称$\{x_n\}\subset X$为一个Cauchy列, 若$d(x_n,x_m)\to 0,\quad n,m\to \infin$.

定义
称$X$为一个完备度量空间, 若$\{x_n\}\subset X$是一个Cauchy列, 则$\exist x_x\in X,x_n\to x_x$.

定义
$(X,d),(Y,\rho)$为两个度量空间, $T:X\rightarrow Y$映射, 称$T$在$x_0\in X$处连续, 若$x_n \rightarrow x_0 \Rightarrow \rho(F(x_n),F(x_0))\rightarrow 0$.
称$T:X\rightarrow Y$连续, 若$T$在任何$x\in X$处连续.

定义
乘积度量:$(X_1,d_1),(X_2,d_2)$为两个度量空间, 令$Y=X_1\times X_2$, 可以定义$d:Y\times Y\to [0,+\infin)$为$d((x_1,x_2),(y_1,y_2))=\max (d_1(x_1,y_1),d_2(x_2,y_2))$, 那么$d$是$Y$上的一个度量.

定义
开球 $B(x_0,r)=\{ y\in X:d(x_0,y)<r\}$
闭球 $\overline{B(x_0,r)}=\{ y\in X:d(x_0,y)\leq r\}$

性质
$(X,d)$是度量空间, $(X\times X,\hat{d})$, 则

$$d:(X\times X,\hat{d})\to (\mathbb{R},|\cdot|)$$

是连续的.

定义
设$V$是一个实线性空间, 上面定义一个函数$||\cdot||:V\to [0,+\infin)$, 满足:

1. 正定性: $||v||=0\Leftrightarrow v=\mathbf{0}$;
2. 齐次性: $||\lambda v||=|\lambda|||v||$;
3. 三角不等式: $||u+v||\leq ||u||+||v||$.

则称$||\cdot||$是$V$上的一个范数, $(V,||\cdot||)$是一个赋范线性空间. (简写为n.l.s, 即normed linear space)
称$||v||$是向量$v$的长度或范数.

例
$(\mathbb{R}^n,|\cdot|)$, $|x|=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$

$$||x||_p :=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^\frac{1}{p}$$

$(V,||\cdot||)$是n.l.s, 定义$d:V\times V\to [0,\infin)$

$$d(v_1,v_2):=||v_1-v_2||$$

性质: $d$是$V$上的一个度量, 从而$V$在$d$下成为一个度量空间.

定义
称一个完备n.l.s.为Banach空间.

例
$I:[a,b]$是区间, $V=C(I;\mathbb{R}^n)$,
定义$||\cdot ||_{\infin}:V\to \mathbb{R}_+$,

$$f\mapsto ||f||_{\infin}=\sup_{t\in I}|f(t)|=\max_{t\in I}|f(t)|$$

性质: $||\cdot ||_{\infin}$是$C(I;\mathbb{R}^n)$上的一个范数, 称为无穷范数, 且$(C(I;\mathbb{R}^n),||\cdot ||_{\infin})$是Banach空间.

令$K\subset \mathbb{R}^n$是一个紧集, 定义$W=C(I;K)\subset V$
性质: $||\cdot ||_{\infin}$是$C(I;K)$上的一个范数, 称为无穷范数, 且$(C(I;K),||\cdot ||_{\infin})$是Banach空间.

例
设$V=C(I,\mathbb{R})$, $I=[a,b]$,

$$||f||_1=\int_a^b|f(x)|dx$$

$||\cdot||_1$是$V$上的范数, $(C(I;\mathbb{R}),||\cdot||_1)$不是Banach空间.

例
设$V=M_n(\mathbb{R})$, $A\in M_n(\mathbb{R})$,

$$||A||_2=\sqrt{\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2}$$

$$||A||_{op}=\sup_{|v|=1}|Av|$$

则$||\cdot||_{op}$是$M_n(\mathbb{R})$上的一个范数, 且$\exist c_n>1$, s.t.

$$c_n^{-1}||A||_{op} \leq ||A||_{2} \leq c_n||A||_{op}$$

压缩映射

定义
$(X,d),T:X\to X$映射, 设$0<c<1$, 称$T$是一个$c-$压缩映射, 若$d(T(x),T(y))\leq c\cdot d(x,y)$.

定理 (Banach不动点定理)
$(X,d)$是完备度量空间, $T:X\to X$为$c-$压缩映射, $c\in (0,1)$, 则$T$存在唯一的不动点$x_*$, $T(x_*)=x_*$. 进一步$\forall x_0\in X$,

$$d(T^n(x_0),x_*)\leq \frac{c^n}{1-c}d(x_0,T(x_0))$$

证明
$x_0\in X$, 令$x_n=T^n(x_0)$, $\{T^n(x_0):n\in \mathbb{N}\}\subset X$为Cauchy列,

$$\begin{aligned} d(T^{n+1}(x_0),T^n(x_0))&\leq d(T(T^n(x_0)),T(T^{n-1}(x_0)))\\ &\leq c\cdot d(T^n(x_0),T^{n-1}(x_0))\\ &\leq\cdots\leq c^nd(T(x_0),x_0) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} d(T^{n+k}(x_0),T^n(x_0))&\leq d(T^{n+k}(x_0),T^{n+k-1}(x_0))+\cdots +d(T^{n+1}(x_0),T^n(x_0))\\ &\leq (c^{n+k-1}+\cdots+c^n)d(T(x_0),x_0)\\ &\leq\frac{c^n}{1-c}d(T(x_0),x_0) \end{aligned}$$

由$X$完备, 存在唯一$x_*\in X$, s.t.

$$T^n(x_0)\to x_*,d(T^n(x_0),x_*)\to 0$$

Lipschitz性质与解的唯一性

定义
$U\subset \mathbb{R}^{d+1}$开, $f:U\to \mathbb{R}^d$连续, $D\subset U$, 称$f\in Lip_x(D)$, 若$\exist L=L(0)>0$ s.t. $\forall t,x,x'$, $(t,x),(t,x')\in D$, 有

$$|f(t,x)-f(t,x')|\leq L|x-x'|$$

定义
$f:U\to \mathbb{R}^d$连续, 称$f\in Lip_{x,loc}(U)$, 若$\forall K\subset U$, 都存在$L(K)>0$, s.t.

$$f\in Lip_x(K)$$

推论
$U\subset \mathbb{R}^{d+1}$开, $f:U\to \mathbb{R}^d$为$C^1$光滑 $\Rightarrow$ $f\in Lip_{x,loc}(U)$.

定理(Picard-Lindelöf)
$U\subset \mathbb{R}^{d+1}$开, $f:U\to \mathbb{R}^d$连续, 且$f\in Lip_{x,loc}(U)$. 设$(t_0,x_0)\in U$, 则IVP$\begin{cases} \dot{x}=f(t,x)\\ x(t_0)=x_0 \end{cases}$
的解局部存在且唯一, 即存在$\delta >0$以及$\varphi:[t_0-\delta,t_0+\delta]\to \mathbb{R}$ s.t. $\varphi$为IVP的解且在$[t_0-\delta,t_0+\delta]$上是唯一解.

证明
记$R=[t_0-\epsilon,t_0+\epsilon]\times \overline{B(x_0,\epsilon)},M=\max_{(t,x)\in R}|f(t,x)|,\delta_0=\frac{\epsilon}{M}$,
第一步: 构造一个完备度量空间$X:=C([t_0-\delta,t_0+\delta];\overline{B(x_0,\epsilon)})$;
第二步: Picard映射$T:X\to C([t_0-\delta,t_0+\delta];\mathbb{R}^d),\phi \mapsto T\phi$

$$(T\phi)(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\phi(\tau))d\tau,t\in [t_0-\delta,t_0+\delta]$$

$\begin{aligned} |T\phi(t)-x_0|&= |\int_{t_0}^tf(\tau,\phi(\tau))d\tau| \leq \int_{t_0}^t|f(\tau,\phi(\tau))|d\tau \\ &\leq |t-t_0|M\leq \delta_0M\leq \epsilon \end{aligned}$
$\Rightarrow T\phi\in X$;
第三步: $T$为压缩映射. $\phi,\psi\in X$,

$$\begin{aligned} |T\phi(t)-T\psi(t)| &\leq \int_{t_0}^t|f(\tau,\phi(\tau))-f(\tau,\psi(\tau))|d\tau \\ &\leq \int_{t_0}^tL|\phi(\tau)-\psi(\tau)|d\tau \\ &\leq ||\phi-\psi||_{\infin},\forall t\in [t_0-\delta,t_0+\delta] \end{aligned}$$

取$\delta=\min\{\delta_0,\frac{1}{2L}\}$

$$d(T\phi,T\psi)=||T\phi-T\psi||_{\infin}\leq L\delta||\phi-\psi||_{\infin}=\frac{1}{2}||\phi-\psi||_{\infin}\leq \frac{1}{2}d(\phi,\psi)$$

即$T$为$\frac{1}{2}$-压缩映射.
由Banach, 存在唯一的$\varphi\in X$ s.t. $T\varphi=\varphi$, $\forall t\in [t_0-\delta,t_o+\delta]$,

$$\varphi(t)=T\varphi(t)=\int_{t_0}^tf(\tau,\phi(\tau))d\tau$$

在$[t_0-\delta,t_0+\delta]$上$\varphi$为IVP唯一解.

Picard迭代

引理 一个著名积分

$$\frac{(t_1-t_0)^n}{n!}=\int_{t_0}^{t_1}\int_{t_0}^{t_2}\int_{t_0}^{t_3}\cdots \int_{t_0}^{t_n}dt_{n+1}dt_n\cdots dt_2$$

取$\delta=\delta_0=\frac{\epsilon}{M}$, $T:X\to X$, $\forall \phi,\psi,t_0\leq t \leq t_0+\delta_0$

$$\begin{aligned} |T^n\phi(t)-T^n\psi(t)|&=|\int_{t_0}^tf(t_1,T^{n-1}\phi(t_1))-f(t_1,T^{n-1}\psi(t_1))dt_1|\\ &\leq L\int_{t_0}^t|T^{n-1}\phi(t_1)-T^{n-1}\psi(t_1)|dt_1\\ &\leq L\int_{t_0}^tL\int_{t_0}^{t_1}|T^{n-2}\phi(t_2)-T^{n-2}\psi(t_2)|dt_2dt_1\\ &\leq \cdots\\ &\leq L^n\int_{t_0}^t\int_{t_0}^{t_1}\cdots\int_{t_0}^{t_{n-1}}|\phi(t_n)-\psi(t_n)|dt_n \cdots dt_2dt_1\\ &\leq L^n ||\phi-\psi||_{\infin}\frac{\delta_0^n}{n!} \end{aligned}$$

即

$$||T^n\phi-T^n\psi||_{\infin}\leq \frac{(L\delta_0)^n}{n!}||\phi-\psi||_{\infin}$$

断言: $\forall \phi\in X$, $\{T^n\phi\}\subset X$为Cauchy列.
令$\psi =T^k\phi$, 有

$$||T^{n+k}\phi-T^n\phi||_{\infin}\leq \frac{(L\delta_0)^n}{n!}||T^k\phi-\phi||_{\infin}\leq 2(|x_0|+\epsilon)\frac{(L\delta_0)^n}{n!}\to 0,n\to \infin$$

$||\phi||_{\infin}\leq|x_0|+\epsilon$, 存在唯一的$\varphi$ s.t. $T^n\phi \to \varphi,n\to \infin$.

定理
$I\subset \mathbb{R}$区间, $f:I\times \mathbb{R}^d\to \mathbb{R}^d$连续, 且$\exist L>0$, s.t. $\forall t\in I,\forall x,x'\in \mathbb{R}^d$, 均有

$$|f(t,x)-f(t,x')|\leq L|x-x'|$$

那么$\forall t_0\in I,\forall x_0\in \mathbb{R}^d$, IVP$\begin{cases} \dot{x}=f(t,x)\\ x(t_0)=x_0 \end{cases}$的解在$I$上存在且唯一.

证明
任取$J\subset I$为紧区间, $X=C(J;\mathbb{R}^d)$, $T:X\to X,T\phi(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\phi(\tau))d\tau$, 证明同上, 得到单调上升$J_n$, $I=\cup J_n$.

推论
$I\subset \mathbb{R}$区间, $A:I\to M_d(\mathbb{R})$, $b:I\to \mathbb{R}^d$连续, 则IVP$\begin{cases} \dot{X}=A(t)X+b(t)\\ X(t_0)=X_0 \end{cases}$的解在$I$上存在且唯一.

证明
$\forall J\subset I$为紧区间, $A:J\to M_d(\mathbb{R})$, $L=\max_{t\in J}||A(t)||<\infin$, $f(t,X):= A(t)X+b(t)$, 对于$t\in J,X,Y\in \mathbb{R}^d$,

$$|f(t,X)-f(t,Y)|=|A(t)(X-Y)|\leq ||A(t)|||X-Y|\leq L|X-Y|$$

极大解与极大积分路线

极大解的定义与存在性

定义
$\omega = (t_0,x_0)$, 称$(\phi_\omega ,I_\omega)$是$\mathcal{I}(\omega)$的一个极大解, 若以下两条成立:

1. $\phi_\omega :I_\omega \to \mathbb{R}^d$是$\mathcal{I}(\omega)$的解;
2. 若$(\psi,J)$也是$\mathcal{I}(\omega)$的解, 且$\psi$为$\phi_\omega$的延拓 (即$I_\omega \subset J,\psi |_{I_\omega}=\phi_\omega$) , 则$J=I_\omega,\psi=\phi_\omega$.

注:
若$(\phi_\omega ,I_\omega)$为极大解, 则$I_\omega$为开区间, 因为若$I_\omega =(a,b]$, $(b,\phi_\omega (b))\in U$, $\phi_\omega$可以延拓到$(a,b+\epsilon)$上, 从而与上述2) 矛盾.

从现在开始, 总假设$\forall \omega=(t_0,x_0)\in U$初值问题, $\mathcal{I}(\omega)$的解总是局部存在且唯一.

定理
$U\subset \mathbb{R}^{d+1}$开, $f:U\to \mathbb{R}^d$连续且上述假设成立, 则$\forall (t_0,\omega_0)\in U$, $\mathcal{I}(\omega)$的极大解存在且唯一.

关键引理
$(\phi,I)$与$(\psi,J)$均为$\mathcal{I}(\omega)$的解, 则$\phi|_ {I\cap J} = \psi|_{I\cap J}$.

证明
设$I\cap J=(a,b) \ni t_0$, $\phi(t_0)=\psi(t_0)=x_0$.
反证: 不妨设$\exist t_0<t_1<b$, s.t. $\phi(t_i)\neq \psi(t_1)$, $\exist t_0\leq t_* <t_1$, s.t. $\phi|_{[t_0,t_*]}=\psi|_{[t_0,t_*]},\phi(t_*)=\psi(t_*)=x_*$, 但$\forall \delta >0,\phi|_{(t_*,t_*+\delta)}\neq\psi|_{(t_*,t_*+\delta)}$, 由假设, $\mathcal{I}(t_*,x_*)$初值的解存在且唯一, 即$\exist \delta_0>0$以及$\eta:(t_*-\delta_0,t_*+\delta_0)\to \mathbb{R}^d$为$\mathcal{I}(t_*,x_*)$在$(t_*-\delta_0,t_*+\delta_0)$的唯一解, 矛盾.

称$(\phi,I)$是$\mathcal{I}(\omega)$的一个局部解, 若$I$为开区间, 且$\phi:I\to \mathbb{R}^d$为解.
记$S=\{(\phi,I):(\phi,I)为\mathcal{I}(\omega)的局部解\}$,
定义$I_{\max}=\cup_{(\phi,I)\in S}I$, 为开区间.
定义$\phi_{\max}:I_{\max}\to \mathbb{R}^d,\quad t\mapsto \phi_{\max}(t):=\phi_t(t)$, $\exist (\phi_t,I_t)$, s.t. $t\in I_t$.
$\phi_{\max}'(t)=f(t,\phi_{\max}(t))$, $\phi_{\max}|_{I_t}=\phi_t|_{I_t}$, $\phi_{\max}'(t)=\phi_t'(t)=f(t,\phi_t(t))$.
断言: $(\phi_{\max},I_{\max})$为$\mathcal{I}(\omega)$的一个极大解. 1) 成立; 对于2) , $\psi:J\to \mathbb{R}^d$为$\mathcal{I}(\omega)$的解, 且$\psi$是$\phi_{\max}$的延拓$\Rightarrow$ $J=I_{\max},\psi=\phi_{\max}$.
断言: $J$为开区间. 若已证$J$为开区间, $(\psi,J)$是一个局部解, $J\subset I_{\max} \Rightarrow I_{\max}=J \Rightarrow \psi=\phi_{\max}$.
若$\psi:J=(a_*,b_*]\to \mathbb{R}^d$为解, $\widetilde{\psi}:\widetilde{J}=(a_*,b_*+\delta)\to \mathbb{R}^d$为解, $(a_*,b_*+\delta)\subset I_{\max} \subset J =(a_*,b_*]$, 矛盾. 从而成立.
唯一性: $(\phi_{\max},I_{\max})$为$\mathcal{I}(\omega)$的极大解, $(\psi_{\max},J_{\max})$也为极大解, 那么$(\psi_{\max},J_{\max})$是一个和局部解, 有$J_{\max}\subset I_{\max}$, 同理有$I_{\max}\subset J_{\max}$, 从而$J_{\max}= I_{\max}$, 由引理知二者相等.

注:

1. 假设$(\phi_{\max},I_{\max})$为$\mathcal{I}(\omega)$的极大解, 则称$I_{\max}$为$\mathcal{I}(\omega)$的解的极大定义区间.
2. 若没有假设, 用Zorn引理证明$\mathcal{I}(\omega)$的极大解必存在.

定义
若$(\phi_{\max},I_{\max})$是$\mathcal{I}(\omega)$的极大解, 称$\Gamma_{\phi_{\max}}=\{(t,\phi_{\max}(t)):t\in I_{\max}\}$为极大积分曲线.

推论
过$(t_0,\omega_0)$的极大积分曲线存在且唯一.

定义
称$\Gamma$是一条极大积分曲线, 若$\Gamma$是某个$\mathcal{I}(\omega)$的极大积分曲线.

极大解的几何性质

性质
设$\Gamma_1$与$\Gamma_2$是$\dot{x}=f(t,x)$的两条极大积分曲线, 则要么$\Gamma_1 \cap \Gamma_2=\emptyset$, 要么$\Gamma_1=\Gamma_2$.

引理
若$\Gamma$为$\mathcal{I}(t_0,x_0)$的极大积分曲线, 且$(t_1,x_1)\in \Gamma$, 那么$\Gamma$也是$\mathcal{I}(t_1,x_1)$的极大积分曲线.

证明
等价于证明$\mathcal{I}(t_0,x_0)$的极大解$(\phi_{\max},I_{\max})$也是$\mathcal{I}(t_1,x_1)$的极大解$(\psi_{\max},J_{\max})$. 易证.

性质的证明
设$\Gamma_1$是$\mathcal{I}(t_0,x_0)$极大积分曲线, $\Gamma_2$是$\mathcal{I}(t_1,x_1)$极大积分曲线.
若$\Gamma_1\cap \Gamma_2=\emptyset$, 成立; 否则, $\exist (t_*,x_*)\in \Gamma_1\cap \Gamma_2$, 从而$\Gamma_1$也是$\mathcal{I}(t_*,x_*)$极大积分曲线, $\Gamma_2$也是$\mathcal{I}(t_*,x_*)$极大积分曲线, 有$\Gamma_1=\Gamma_2$.

定理
$U\subset \mathbb{R}^{d+1}$开, $f:U\to \mathbb{R}^d$连续, $(t_0,x_0)\in U$, 则过$(t_0,x_0)$的极大积分曲线“趋向于$U$的边界”, 即: 若$(\phi_{\max},I_{\max})$是$\mathcal{I}(t_0,x_0)$的极大解, $I_{\max}=(a,b)$, 则$\forall K \subset D$紧, 均存在$a<t_*<t^*<b$, s.t. 当$t\in (a,t_*)\cup (t^*,b)$时, $(t,\phi_{\max}(t))\notin K$.

证明
以$t^*$的存在性为例:
若$b=+\infin$, 那么$t^*$存在是显然的;
若$b<+\infin$, $\exist t_0\leq t^* < b$, s.t. 当$t\in (t^*,b)$, $(t,\phi_{\max}(t))\notin K$.
反证: $\exist t_n \uparrow b$, s.t. $(t_n,\phi(t_n))\in K$紧. 不妨设$\phi(t_n)\to x_*$, 取$R=[b-2\epsilon,b+2\epsilon]\times\overline{B(x_*,2\epsilon)}\subset U$, 令$M=\max_{(t,x)\in R}|f(t,x)|$, 取$t_n$, s.t. $b\frac{\epsilon}{M}<t_n<b$, 对$(t_n,\phi(t_n))$使用Peano延拓定理: $\begin{cases} \dot{x}=f(t,x)\\ x(t_n)=\phi(t_n) \end{cases}$解在$[t_n-\frac{\epsilon}{M},t_n+\frac{\epsilon}{M}]$上存在, 设解为$\psi(t)$, 定义

$$\widetilde{\psi}(t)= \begin{cases} \phi(t),\quad t\leq t_n\\ \psi(t),\quad t_n<t<t_n+\frac{\epsilon}{M} \end{cases}$$

$\widetilde{\psi}(t)$为解, 与$\phi$为$\mathcal{I}(t_0,x_0)$的极大解矛盾.

自治系统的极大解的性质

$V\subset \mathbb{R}^d$为开集, $g:V\to \mathbb{R}^d$连续. 假设$\begin{cases} \dot{x}=g(x)\\ x(t_0)=x_0 \end{cases}$的解总是局部存在且唯一.

$f:\mathbb{R}\times V\to \mathbb{R}^d,\quad (t,x)\mapsto f(t,x):=g(x)$.

性质
$x_0\in V$, $(\phi_{\max},I_{\max})$为$\mathcal{I}(0,x_0)$的极大解 $\Leftrightarrow$ $(\psi_{\max},J_{\max})$为$\mathcal{I}(t_0,x_0)$的极大解, 其中$\psi_{\max}(t)=\phi_{\max}(t-t_0)$, $J_{\max}=t_0+I_{\max}$.

定义
$\begin{cases} \dot{x}=g(x)\\ x(t_0)=x_0 \end{cases}$的极大解为$(\phi_{\max},I_{\max})$, 定义$\mathcal{I}(t_0,x_0)$的通过$x_0$的极大相曲线为$\phi_{\max}$的像, 即$\phi_{\max}(I_{\max})$.

推论
$\dot{x}=g(x)$, $\forall x_0\in V$, 则

1. 通过$x_0$的极大相曲线唯一;
2. 两条极大相曲线要么不相交, 要么完全重合.

性质
$V\subset \mathbb{R}^d$, $g:V\to \mathbb{R}^d$, $\dot{x}=g(x)$, 任取$K\subset V$, $K$紧, $\forall x_0 \in V$, 设$\mathcal{I}(0,x_0)$的解为$(\phi_{\max},I_{\max})$, $I_{\max}=(a,b)$, 则

1. 要么$b=+\infin$* (或者$a=-\infin$) *;
2. 要么$b<+\infin$, 且存在$0\leq t^*<b$, s.t. $\phi(t)\notin K$, $t^*<t<b$* (或者$a>-\infin$, 且存在$a< t_*\leq 0$, s.t. $\phi(t)\notin K$, $a<t<t_*$) *.

证明
若$b=+\infin$, 成立. 下设$b<+\infin$.
$f:\mathbb{R}^d\times V\to \mathbb{R}^d,\quad (t,x)\mapsto f(t,x)=g(x)$, 取$\hat{K}=[0,b]\times K\subset \mathbb{R}^{d+1}$紧, 由非自治系统结论知, $\exist 0\leq t<b$, s.t. $(t,\phi(t))\notin \hat{K}$, 从而$\phi(t)\notin K$.

解关于初值和参数的连续依赖性

对于$\begin{cases} \dot{x}=f(t,x)\\ x(s)=z \end{cases}$, 设解为$\phi(t,s,z)$.

Grönwall不等式

我们考虑对于

$$\phi(t,s,z)=z+\int_s^tf(\tau,\phi(\tau,s,z))d\tau$$

和

$$\phi(t,s,z')=z'+\int_s^tf(\tau,\phi(\tau,s,z'))d\tau$$

定义

$$\begin{aligned} \eta(t)&:=|\phi(t,s,z)-\phi(t,s,z')|\\ &\leq|z-z'|+\int_s^t|f(\tau,\phi(\tau,s,z))-f(\tau,\phi(\tau,s,z'))|d\tau\\ &\leq|z-z'|+L\int_s^t|\phi(\tau,s,z)-\phi(\tau,s,z')|d\tau \end{aligned}$$

即

$$0\leq \eta(t) \leq|z-z'|+L\int_s^t\eta(\tau)d\tau$$

若$\eta(t)=a+L\int_s^t\eta(\tau)d\tau$, 那么$\eta'(t)=L\eta(t)$, 有$\eta(t)=ae^{L(t-s)}$. 我们希望$\eta(t)\leq |z-z'|e^{L(t-s)}$.

**定理 (Grönwall不等式) **
$\eta:[t_0,t_1]\to[0,\infin)$连续, 设$a,b\geq 0$, s.t.

$$\eta(t)\leq a+b\int_{t_0}^t \eta(\tau)d\tau,\quad t\in[t_0,t_1]$$

则$0\leq \eta(t) \leq ae^{b(t-t_0)}$.

证明
先设$a>0$, 令$\varphi(t):=a+b\int_{t_0}^t \eta(\tau)d\tau$, $0\leq \eta(t)\leq \varphi(t)$, 那么$\varphi\in C^1$, $\varphi'(t)=b\eta(t)$, 从而

$$(\ln\varphi(t))'= \frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}=\frac{b\eta(t)}{\varphi(t)}\leq b$$

$$\ln \varphi(t)-\ln \varphi(t_0)=\int_{t_0}^t (\ln \phi(\tau))'d\tau \leq b(t-t_0)$$

从而$\frac{\varphi(t)}{\varphi(t_0)}\leq e^{b(t-t_0)}$, $0\leq \eta(t)\leq \varphi(t)\leq ae^{b(t-t_0)}$.
下设$a=0$. $\forall a'>0$,

$$0\leq \eta(t)\leq a'e^{b(t-t_0)}\leq a'e^{b(t_1-t_0)},\quad t\in[t_0,t_1]$$

从而$\eta(t)\equiv 0$.

解关于初值的连续依赖

引理
$f:U\to \mathbb{R}^d$连续, $f\in Lip_{x,loc}(U)$, 设$(s,z)\in U$, 设$\phi(t,s,z):[s-\kappa_1,s+\kappa_2]\to \mathbb{R}^d$是$\mathcal{I}(s,z)$在区间$[s-\kappa_1,s+\kappa_2]$上的解. 记$\Gamma=\{(t,\phi(t,s,z)):t\in I\}$, 令$\Gamma(\epsilon)=\{(t,x)\in U:d((t,x),\Gamma)\leq \epsilon \}$, 可知$\Gamma(\epsilon)\subset U$为紧集. 设$L=L(\Gamma(\epsilon))>0$, $\exist \delta=\delta(L,\kappa_1,\kappa_2,\epsilon)>0$, s.t. $\forall z'\in B(z,\delta)$, $\mathcal{I}(s,z')$的解$\phi(t,s,z')$的定义区间至少也为$I=[s-\kappa_1,s+\kappa_2]$, 且

$$|\phi(t,s,z)-\phi(t,s,z')|\leq|z-z'|e^{L|t-s|}$$

证明

$$\phi(t,s,z)=z+\int_s^t f(\tau,\phi(\tau,s,z))d\tau$$

$$\phi(t,s,z')=z'+\int_s^t f(\tau,\phi(\tau,s,z'))d\tau$$

$$\begin{aligned} \eta(t)&:=|\phi(t,s,z)-\phi(t,s,z')| \\ &\leq |z-z'|+\int_s^t|f(\tau,\phi(\tau,s,z))-f(\tau,\phi(\tau,s,z'))|d\tau\\ &\leq |z-z'|+L\int_s^t|\phi(\tau,s,z)-\phi(\tau,s,z')|d\tau\\ &\leq |z-z'|+L\int_s^t \eta(\tau)d\tau \end{aligned}$$

$\forall z'\in B(z,\delta)$, 设$\phi(t,s,z')$为$\mathcal{I}(s,z')$的解, 由极大积分曲线离开任何紧子集, 对$\Gamma(s)$, 存在$T>s$, s.t. $(t,\phi(t,s,z'))\in \Gamma(\epsilon)$, $t\in[s,T]$. $\exist t_n \downarrow T$, s.t.$(t_n,\phi(t_n,s,z))\notin \Gamma(\epsilon)$.
断言: $T\geq s+\kappa_2$.
否则$s<T<s+\kappa_2$, 则有$d((T,\phi(T,s,z')),\Gamma)=\epsilon$, 对$\forall s\leq t \leq T$, 有

$$\eta(t)\leq |z-z'|+L\int_s^t \eta(\tau)d\tau$$

由Grönwall

$$0\leq \eta(t)\leq |z-z'|e^{L(t-s)}$$

那么

$$\begin{aligned} |(T,\phi(T,s,z))-(T,\phi(T,s,z'))|&=|\phi(T,s,z)-\phi(T,s,z')|=\eta(T)\\ &\leq |z-z'|e^{L(T-s)}\\ &\leq \delta e^{L\kappa_2}=\frac{\epsilon}{2} \end{aligned}$$

矛盾, 从而断言成立.

定理
对$\forall (s,z)\in U$, 记$\mathcal{I}(s,z)$的极大解为$(\phi(t,s,z),I_{(s,z)})$, 定义$W=\{(t,s,z):(s,z)\in U,t\in I_{(s,z)}\}\subset \mathbb{R}^{d+2}$, 则$W$为开集, 且为$\phi$的定义域, $\phi$在$W$上连续.

证明
$\forall \sigma_0=(t_0,s_0,z_0)\in W$, $\exist \delta>0,C>0$, s.t. $U(\delta_0):=(t_0-\delta,t_0+\delta)\times(s_0-\delta,s_0+\delta)\times B(z_0,\delta)\subset W$, 且$\forall \sigma=(t,s,z)\in U(\sigma_0)$, 有

$$|\phi(t,s,z)-\phi(t_0,s_0,z_0)|\leq C(|t-t_0|+|s-s_0|+|z-z_0|)$$

记$z_s=\phi(s,s_0,z_0)$, $(s,z_s)\in \Gamma(s,z_0)$, 那么$\mathcal{I}(s,z_s)$的极大解$\phi(t,s,z_s)=\phi(t,s_0,z_0)$.
由$t_0\in I_{(s_0,z_0)}$, $\exist \delta_0>0$, s.t. $[t_0-\delta_0,t_0+\delta_0]\subset I_{(s_0,z_0)}$, 记$\Gamma=\{(t,\phi(t,s_0,z_0)):t\in [s_0-\delta_0,t_0+\delta_0]\}$, $M=\max_{(t,x)\in \Gamma(\epsilon)}|f(t,x)|$, 对$(s,z_s)$与$(s,z)$用性质, 有$|z-z_s|<\delta_1=e^{-L(t_0-s_0+2\delta_0)}\epsilon/2$, 故$\phi(t,s,z)$的解也至少在$[s_0+\delta_0,t_0+\delta_0]$上存在且连续, 那么$|z-z_s|\leq|z-z_0|+|z_0-z_s|<\delta+M|s-s_0|<\delta+M\delta<\delta_1$. 当$\delta=\delta_1/(1+M)$时$|s-s_0|<\delta,|z-z_0|<\delta$, 故$\phi(t,s,z)$至少在$[s_0-\delta_0,t_0+\delta_0]$上有定义, $(t_0-\delta,t_0+\delta)\subset[s_0-\delta_0,t_0+\delta_0]\subset I_{(s,t)}$, $(t_0-\delta,t_0+\delta)\times (s_0-\delta,s_0+\delta)\times B(z_0,\delta)\subset W$, 从而$W$为开集.

$$\begin{aligned} |\phi(t,s,z)-\phi(t_0,s_0,z_0)|&\leq |\phi(t,s,z)-\phi(t,s_0,z_0)|+|\phi(t,s_0,z_0)-\phi(t_0,s_0,z_0)|\\ &\leq |\phi(t,s,z)-\phi(t,s,z_s)|+|\phi(t,s_0,z_0)-\phi(t_0,s_0,z_0)|\\ &\leq |\phi(t,s,z)-\phi(t,s,z_s)|+\int_{t_0}^t|f(\tau,s_0,z_0)|d\tau\\ &\leq |z-z_s|e^{L\kappa}+M|t-t_0|\\ &\leq (|z-z_0|+M|s-s_0|)e^{L\kappa}+M|t-t_0| \end{aligned}$$

解关于参数的连续依赖

$\tilde{U}\subset \mathbb{R}^{d+1+d'}$开, $f:\tilde{U}\to \mathbb{R}^d$连续, 考虑IVP$\begin{cases} \dot{x}=f(t,x,\lambda)\\ x(s)=z \end{cases}$的解$\phi(t,s,z,\lambda)$.

定义
称$f\in Lip_{(x,\lambda),loc}(\tilde{U})$, 若$\forall K\subset \tilde{U}$为紧集, $\exist L(K)>0$, s.t.

$$|f(t,x,\lambda)-f(t,x',\lambda')|\leq L(|x-x'|+|\lambda-\lambda'|)$$

性质
设$\tilde{U}\subset \mathbb{R}^{d+1+d'}$开, $f:\tilde{U}\to \mathbb{R}^d$连续且$f\in Lip_{(x,\lambda),loc}(\tilde{U})$, $\forall(s,z,\lambda)\in \tilde{U}$, 记$\mathcal{I}(s,z,\lambda)$的极大解为$(\phi(t,s,z,\lambda),I_{(s,z,\lambda)})$, 则$\tilde{W}:=\{(t,s,z,\lambda):(s,z,\lambda)\in\tilde{U},t\in I_{(s,z,\lambda)}\}$为$\mathbb{R}^{d+1+d'}$中的开集, 其为$\phi$的定义域, 进一步$\phi$在$\tilde{W}$上连续.

证明
参数变初值
记$F:\tilde{U}\to \mathbb{R}^{d+d'},\quad (t,x,y)\mapsto (f(t,x,y),0)$, 那么$F\in C(\tilde{U})\cap Lip_{(x,y),loc}(\tilde{U})$, 对于$\begin{cases} \dot{X}=F(t,X)\\ X(s)=(z,\lambda) \end{cases}$, $X=(x,y)$, 其解$\phi(t,s,z,\lambda)$, 那么$\phi(t,s,z,\lambda)$在$\tilde{W}$上连续, $(\dot{x},\dot{y})=(f(t,x,y),0)$, $\begin{cases} \dot{x}=f(t,x,y) \quad x(s)=z\\ \dot{y}=0 \quad y(s)=\lambda \end{cases}$, 有$y(t)\equiv \lambda$, 带入上方即有结论正确.

解关于初值和参数的光滑依赖性

$C^1$ 光滑情形

$f:U\to \mathbb{R}^d$, $f\in C^1(U;\mathbb{R}^d)$, 那么$f\in C(U)\cap Lip_{x,loc}(U)$.

对于$\phi(t,s,z)=z+\int_s^t f(\tau,\phi(\tau,s,z))d\tau$,

$$\frac{\partial \phi}{\partial z}(t,s,z)=I_d+\int_s^t\frac{\partial f}{\partial x}(\tau,\phi(\tau,s,z))\frac{\partial \phi}{\partial z}(\tau,s,z)d\tau$$

记为$\Phi(t)=I_d+\int_s^t A(\tau)\Phi(\tau)d\tau$, 则$\Phi'(t)=A(t)\Phi(t)$.

考虑$\dot{x}=f(t,x)$一阶变分方程$\begin{cases} \dot{X}=A(t)X \\ X(s)=I_d \end{cases}$.

$A(t,s,z):=\frac{\partial f}{\partial x}(t,\phi(t,s,z))$连续, 下面讨论$\begin{cases} \dot{X}=A(t,s,z)X=F(t,X,s,z) \\ X(s)=I_d \end{cases}$. 记$\omega=(s,z)$, 将$s$换为$\tau$.

引理
$I\subset \mathbb{R}$紧, $K\subset \mathbb{R}^m$紧, $A:I\times K\to M_d(\mathbb{R}),\quad (t,\omega)\mapsto A(t,\omega)$连续, 取$\tau\in I$, 取$\omega\in K$, 取$B\in M_d(\mathbb{R})$, 则$\begin{cases} \dot{X}=A(t,\omega)X \\ X(\tau)=B \end{cases}$的解在$I$上有定义且唯一. 记解为$\Phi(t,\tau,\omega)$, 则$\Phi$的定义域为$I\times I\times K$且$\Phi$在$I\times I\times K$上连续.

证明
$S=C(I\times I\times K;M_d(\mathbb{R}))$, 定义$P:S\to S,\quad \phi(t,\tau,\omega)\mapsto (P\phi)(t,\tau,\omega)$, 其中

$$(P\phi)(t,\tau,\omega):=B+\int_\tau^tA(u,\omega)\phi(u,\tau,\omega)du$$

可以证明$\{P^n\phi\}$是$S$中Cauchy列, 设$P^n\phi \to \Phi$, $\Phi(t,\tau,\omega)=B+\int_\tau^t A(u,\omega)\Phi(u,\tau,\omega)du$.

性质
$(t,\omega)\in V\subset \mathbb{R}^{d+1}$, $\forall \omega\in \mathbb{R}^d$, 定义$V$的截口$V_\omega=\{t\in \mathbb{R}:(t,\omega)\in V\}$, 设$V_\omega$均为开区间, $A:V\to M_d{\mathbb{R}},\quad (t,\omega)\mapsto A(t,\omega)$, $A$连续. 固定$B\in M_d(\mathbb{R})$, $\forall (\tau,\omega)\in V$, 考虑初值问题$\begin{cases} \dot{X}=A(t,\omega)X \\ X(\tau)=B \end{cases}$, 则该初值问题的解在$V_\omega$上存在且唯一, 记该解为$\phi(t,\tau,\omega)$, 定义$W=\{(t,\tau,\omega):(\tau,\omega)\in V,t\in V_m\}$, 则$\phi$在$W$上连续.

证明
固定$(\tau,\omega)\in V$, 固定$(\tau_0,\omega_0,t_0)$, $\omega \to V_\omega$, 任取$I$, s.t. $t_0,\tau_0 \in I \subset V_\omega$紧, 取$K=\overline{B(\omega_0,\delta)}$, 使用引理: 有解$\Phi(t,\tau,\omega)$在$I\times I\times \overline{B(\omega_0,\delta)}$上连续.

$V=\{(t,s,z):(s,z)\in U,t\in I_{(s,z)}\}$, $A:V\to M_d(\mathbb{R}),\quad (t,s,z)\mapsto A(t,s,z)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,\phi(t,s,z))$, 初值问题$\begin{cases} \dot{X}=A(t,s,z)X \\ X(\tau)=I_d \end{cases}$的解存在且唯一, 记为$\Phi(t,\tau,s,z)$, $W=\{(t,\tau,s,z):(s,z)\in U,\tau,t\in I_{(s,z)}\}$, $\Phi$在$W$上连续.

初值问题$\begin{cases} \dot{X}=A(t,s,z)X \\ X(s)=I_d \end{cases}$的解记为$D(t,s,z)=\Phi(t,\tau,s,z)$. 定义域为$V=\{(t,s,z):(s,z)\in U,t\in I_{(s,z)}\}$.

有限增量定理
$U\subset \mathbb{R}^d$开, $f:U\to \mathbb{R}^d$为$C^1$光滑, $[z_0,z]\subset U$, 则

$$|f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)|\leq \sup_{\xi\in [z_0,z]}||f'(\xi)-f'(z_0)|||z-z_0|$$

引理
$U\subset \mathbb{R}^{d+1}$, $f:U\to \mathbb{R}^d$是$C^1$的, $(s,z)\in U$, $\mathcal{I}(s,z)$的解$\phi(t,s,z)$的定义域为$W$, $W=\{(t,s,z):(s,z)\in U,t\in I_{(s,z)}\}$为开集, 则$\frac{\partial \phi}{\partial z}$在$W$上存在且连续.

证明
令$\Gamma=\{(t,\phi(t,s,z)):t\in[s,t_0]\}$, $M=\max_{(t,x)\in\Gamma(\epsilon_0)}|\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)|$, $\frac{\partial f}{\partial x}$的连续模

$$\delta(\epsilon)=\sup \{||\frac{\partial f}{\partial x}(p)-\frac{\partial f}{\partial x}(q)||:p,q\in \Gamma(\epsilon_0),|p-q|<\epsilon\}$$

考虑$\phi(t_0,s,z')-\phi(t_0,s,z)$, 取$\delta>0$, 当$|z'-z|<\delta$, $\phi(t,s,z')$至少在$[s,t_0]$上存在且位于$\Gamma(\epsilon_0)$内, 且

$$|\phi(t,s,z')=\phi(t,s,z)|\leq |z'-z|$$

$D(t,s,z)$是$\begin{cases} \dot{X}=\frac{\partial f}{\partial x}(t,\phi(t,s,z))X \\ X(s)=I_d \end{cases}$的解, 而

$$D(t,s,z)=I_d+\int_s^t\frac{\partial f}{\partial x}(\tau,\phi(\tau,s,z))D(\tau,s,z)d\tau$$

$$\phi(t,s,z')-\phi(t,s,z)=(z'-z)+\int_s^t f(\tau,\phi(\tau,s,z'))-f(\tau,\phi(\tau,s,z))d\tau$$

那么

$$\begin{aligned} \eta(t)&:=\phi(t,s,z')-\phi(t,s,z)-D(t,s,z)(z'-z)\\ &=(z'-z)+\int_s^t f(\tau,\phi(\tau,s,z'))-f(\tau,\phi(\tau,s,z))d\tau-[(z'-z)+\int_s^t\frac{\partial f}{\partial x}(\tau,\phi(\tau,s,z))D(\tau,s,z)(z'-z)d\tau]\\ &=\int_s^t\frac{\partial f}{\partial x}(\tau,\phi(\tau,s,z))(\phi(\tau,s,z')-\phi(\tau,s,z)-D(\tau,s,z)(z'-z))+\Delta(z'-z)d\tau \end{aligned}$$

后半部分

$$|\Delta(z',z)| \leq |\phi(\tau,s,z')-\phi(\tau,s,z)|\leq\delta(|\phi(\tau,s,z)-\phi(\tau,s,z)|) \leq C|z-z'|\delta(c|z-z'|)$$

从而

$$\eta(t)\leq \int_s^t M\eta(\tau)d\tau+\int_s^t |\Delta(z',z)|d\tau \leq \int_s^t M\eta(\tau)d\tau+c|z'-z|\delta(\widetilde{c}|z'-z|)$$

即

$$\eta(t)\leq c|z'-z|\delta(\widetilde{c}|z'-z|)e^{M|t-s|}=\omicron(|z'-z|)$$

这就证明了结论.

对于$\frac{\partial \phi}{\partial s}$的存在性和光滑性:

$$\frac{\partial \phi}{\partial s}(t,s,z)=-f(s,\phi(s,s,z))+\int_s^t\frac{\partial f}{\partial x}(\tau,\phi(\tau,s,z))\frac{\partial \phi}{\partial s}(\tau,s,z)d\tau$$

考察微分方程$\begin{cases} \dot{X}=\frac{\partial f}{\partial x}(t,\phi(t,s,z))X \\ X(s)=-f(s,z) \end{cases}$即可.
类似地推导可以得到:
性质
$\frac{\partial \phi}{\partial s}$也在$W$上存在且连续.

定理
$\mathcal{I}(s,z)$的解$\phi(t,s,z)$定义在$W$上, 且$\phi\in C^1(W)$, $\frac{\partial \phi}{\partial t}=f(t,\phi(t,s,z))$.

证明

$$\frac{\partial \phi}{\partial z},\frac{\partial \phi}{\partial s},\frac{\partial \phi}{\partial t}\in C^0(W)$$

推论
$W\in \mathbb{R}^{d+d'+1}$, $f:(t,x,\lambda)\ni \hat{W}\to \mathbb{R}^d$, $f\in C^1(\hat{W})$, $\forall(s,z,\lambda)\in \hat{W}$, 记$\mathcal{I}(s,z,\lambda)$的解为$\phi(t,s,z,\lambda)$, 则$\phi$的定义域为$\widetilde{W}=\{(t,s,z,\lambda):(s,z,\lambda)\in \hat{W},t\in I_{(s,z,\lambda)}\}$, 且$\phi \in C(\widetilde{W})$.

$C^k$ 光滑情形

定理
(1) $f\in C^{(k)}(U;\mathbb{R}^d)$, 则$\phi(t,s,z;f)\in C^{(k)}(W)$;
(2) $F\in C^{(k)}(\hat{W};\mathbb{R}^d)$, 则$\phi(t,s,z,\lambda;F)\in C^{(k)}(\hat{W})$.
这里$k\in \mathbb{N}\cup \{\infin\}$.

证明
$k=1$时成立;
我们归纳法证明的路径是$(1)k\to(2)k\to(1)k+1\to\cdots$
假设$k$成立, $U\subset \mathbb{R}^{d+1}$, 先设$f:U\to \mathbb{R}^d$, $f\in C^{(k+1)}$, 那么

$$\phi\in C^{(k+1)}(W) \Leftrightarrow \frac{\partial \phi}{\partial z},\frac{\partial \phi}{\partial s},\frac{\partial \phi}{\partial t}\in C^{(k)}(W)$$

$$\frac{\partial \phi}{\partial t}(t,s,z)=f(t,\phi(t,s,z))\in C^{(k)}$$

$$\frac{\partial \phi}{\partial z}(t,s,z)=D(t,s,z)$$

$\begin{cases} \dot{X}=\frac{\partial f}{\partial x}(t,\phi(t,s,z))X=F(t,X,s,z) \\ X(s)=I_d \end{cases}$断言$F\in C^{(k)}$, 有$D(t,s,z)=\Phi(t,s,z,s)$.

$$\frac{\partial \phi}{\partial s}(t,s,z)=\hat{D}(t,s,z)$$

$\begin{cases} \dot{X}=\frac{\partial f}{\partial x}(t,\phi(t,s,z))X=F(t,X,s,z) \\ X(\tau)=y \end{cases}$, 有$\hat{D}(t,s,z)=\Psi(t,s,z,s,-f(s,z))$.
从而$k+1$时成立, 归纳有结论成立.