测度与积分笔记-序和第一章

序

Riemann 积分的缺点

1. 可测集少;
2. 只能在紧集上定义积分, 广义积分过于复杂;
3. 可积函数少;
4. 积分与极限交换性差.

Lebesgue 的想法

1. 用可数覆盖定义测度;
2. 对值域做划分.

Chapter 1. 集合

1. 基本运算

令 $X,Y$ 是集合, $f:X\to Y$ 是映射, 那么 $f^{-1}:2^Y\to 2^X,\quad A\mapsto f^{-1}(A)$ 满足:

$$f^{-1}(\bigcup_{\alpha\in I}A_\alpha)=\bigcup_{\alpha\in I}f^{-1}(A_\alpha)$$

$$f^{-1}(\bigcap_{\alpha\in I}A_\alpha)=\bigcap_{\alpha\in I}f^{-1}(A_\alpha)$$

$$f^{-1}(A\setminus B)=f^{-1}(A)\setminus f^{-1}(B)$$

$$f^{-1}(A^c)=(f^{-1}(A))^c$$

2. 集合列的极限

定义 令$A_k$是集合.

1. $A_k\nearrow$, 记

$$\lim_{k\to+\infin}A_k=\bigcup_{k=1}^{+\infin}A_k$$

2. $A_k\searrow$, 记

$$\lim_{k\to+\infin}A_k=\bigcap_{k=1}^{+\infin}A_k$$

3. 记

$$\varlimsup_{k\to+\infin}A_k=\bigcap_{k=1}^{+\infin}\bigcup_{i=k}^{+\infin}A_i,\quad \varliminf_{k\to+\infin}A_k=\bigcup_{k=1}^{+\infin}\bigcap_{i=k}^{+\infin}A_i$$

当 $\varlimsup_{k\to+\infin}A_k=\varliminf_{k\to+\infin}A_k$ 时称 $\lim_{k\to+\infin}A_k$ 存在, $\lim_{k\to+\infin}A_k=\varlimsup_{k\to+\infin}A_k$.

引理 设 $A_k$ 是集合, 则

$$\varlimsup_{k\to+\infin}A_k=\{x:\forall N>0,\exists k>N, s.t. x\in A_k\}$$

$$\varliminf_{k\to+\infin}A_k=\{x:\exists N>0, s.t. \forall k>N, x\in A_k\}$$

例 令 $A_k=\{\frac{m}{k}:m\in\mathbb{Z}\}$, 则

$$\varlimsup_{k\to+\infin}A_k=\mathbb{R},\quad \varliminf_{k\to+\infin}A_k=\mathbb{Z}$$

例 设 $f,f_k$ 是 $E$ 上函数, $A=\{x:\lim_{k\to+\infin} f_k(x)\neq f(x)\}$, 那么 $f$ 的不收敛集为

$$\bigcup_{m=1}^{+\infin}\bigcap_{k+1}^{+\infin}\bigcup_{i=k}^{+\infin}\{x\in E:|f_i(x)-f(x)|>\frac{1}{m}\}$$

3. 势

定义 $A,B$ 是集合, 称 $A,B$ 是等势的, 记为 $|A|=|B|$ , 如果存在 $A$ 到 $B$ 的一一映射.

例 $|\mathbb{Z}|=|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}^+|$.

例 $|B_1^n(0)|=|\mathbb{R}^n|$.

定义 $A,B$ 是集合, 称 $|A|\geq|B|$ , 如果存在 $A$ 到 $B$ 的满射 (或等价地, $B$ 到 $A$ 的单射) .
$|A|\geq|B|$ 且 $|A|\neq|B|$ 时称 $|A|>|B|$.

例 若 $A\neq\emptyset$, 那么 $|A|<|2^A|=:2^{|A|}$.

定理 (Cantor-Schröder-Bernstein) 若 $|A|\geq|B|$ 且 $|B|\geq|A|$, 那么 $|A|=|B|$.

例 设 $E_1,E_2\subset\mathbb{R}^n$ 均有内点, 则 $|E_1|=|E_2|=|\mathbb{R}^n|$.

定义 称集合 $A$ 可列, 若 $|A|=|\mathbb{N}|$, 记为 $|A|=\omega$; 称集合 $A$ 至多可列, 若 $A$ 可列或有限.

定理 设 $A,B$ (至多) 可列, 则:
$A\times B$ (至多) 可列;
$A\cup B$ (至多) 可列.

例 $A_i$ 可列, 则 $\bigcup_{i=1}^{+\infin}A_i$ 可列.

例 设 $A$ 为无穷集, $B$ 为可列集, 则 $|A\cup B|=|A|$.

例 $|\mathbb{Q}|=\omega$.

例 $\mathbb{R}^n$ 中孤立点集至多可列. ($E$ 是孤立点集: $\forall x\in E$, $\exists \delta>0$, s.t. $B_\delta(x)\cap E=\{x\}$)

例 $U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中开集, 则 $U$ 的连续分支可列.

例 设 $f$ 是 $[a,b]$ 上单调函数, 则不连续点可列.

例 设 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上函数, $E=\{x_0:\lim_{x\to x_0}|f(x)|=\infin\}$, 则 $E$ 至多可列.

例 令 $E\subset\mathbb{R}$, $\mathcal{A}$ 是 $E$ 上开覆盖, 则存在 $\mathcal{A}$ 中至多可列子覆盖盖住 $E$.

定义 称 $|A|$ 是连续统, 若 $|A| = |\mathbb{R}|$, 记为 $|A|=c$.

定理 (Cantor’s Continuum Theorem) $c=2^\omega$ (这说明 $|\mathbb{R}|>|\mathbb{Q}|$) .

例 令$A=\left\{ \{ x_i \} : x_i\in \{0,1,\cdots,9\right\} ,i=1,2,\cdots \}$, 则 $|A| = c$.

例 $|\mathbb{R}^n|=c$.

例 代数数可列, 超越数不可列.

例 点 $A,B\in\mathbb{R}^2$, 曲线 $\gamma:[0,1]\to\mathbb{R}^2$ 满足 $\gamma(0)=A$, $\gamma(1)=B$, 那么存在 $\gamma$, $\gamma|_{(0,1)}$ 不含有理点.