测度与积分笔记-第二章

Chapter 2. Lebesgue测度

1. 外测度定义, 基本性质

外测度

定义 设 $E\subset \mathbb{R}^n$, 定义

$$m^*(E)=\inf\{\sum_{i=1}^{+\infin}|I_i|:\bigcup_{i=1}^{+\infin}I_i\supset E\}$$

其中 $I_i$ 是开方体. 称 $m^*(E)$ 是 $E$ 的外测度.

注 对上述定义,

1. $m^*:2^{\mathbb{R}^n}\to [0,+\infin]$;
2. 定义里 $I_i$ 可换成 $\overline{I}_i$ (闭方体) ;
3. 可以换成 $n$ 维球体, 即

$$m^*(E)=\inf\{\sum_{i=1}^{+\infin}\omega_nr_i^n:\bigcup_{i=1}^{+\infin}B_{r_i}(x_i)\supset E\}$$

例 令 $Q=[0,1]^n$, 则 $m^*(Q)=1$.

例 令

$$m_\delta^*(E)=\inf\{\sum_{i=1}^{+\infin}|I_i|:\bigcup \overline{I_i}\supset E,\mathrm{diam}(I_i)<\delta\}$$

则 $m_\delta^*(E)=m^*(E)$.

例 令

$$\hat{m}^*(E)=\inf\{\sum_{i=1}^{+\infin}|I_i|:\bigcup \overline{I_i}\supset E,I_i=[\frac{m_1}{2^k},\frac{m_1+1}{2^k}]\times\cdots\times[\frac{m_k}{2^k},\frac{m_k+1}{2^k}],k\in\mathbb{N},m_k\in\mathbb{Z}\}$$

即 $I_i$ 是二进制闭方体, 则 $m^*(E)=\hat{m}^*(E)$.

命题 对于 $m^*$,

1. $m^*(\emptyset)=0$;
2. 若 $A\subset B$, 则 $m^*(A)\leq m^*(B)$;
3. 有

$$m^*(\bigcup_{i=1}^{+\infin}A_i)\leq \sum_{i=1}^{+\infin}m^*(A_i)$$

命题 对 $\forall x \in\mathbb{R}^n$, $\lambda\in\mathbb{R}^+$,

1. $m^*(E+x)=m^*(E)$;
2. $m^*(\lambda E)=\lambda m^*(E)$.

定理 令 $\sigma$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上等距变换, 则

$$m^*(\sigma(E))=m^*(E)$$

0测集

定义 0测集是 $m^*(E)=0$ 的集合.

例 可列集是0测集 (可以得到 $m^*(\mathbb{Q}^n)=0$) .

例 Cantor集:令$F_0=[0,1]$, $F_k$:将 $F_{k+1}$ 上每个闭区间中间 $\frac{1}{3}$ 开区间去掉, Cantor集 $C=\bigcap_{k=1}^{\infin}F_k$. 那么

1. $C$ 闭集可测;
2. $|C|=|\mathbb{R}|$;
3. $m^*(C)=0$.

命题 我们有

1. 0测集子集是0测集;
2. 至多可列个零测集的并使0测集.

例 在 $\mathbb{R}^2$ 中, 令 $L=\{(x,x):x\in\mathbb{R}\}$, 则 $m^*(L)=0$.

引理 当 $d(A,B)>a>0$ 时, 有 $m^*(A\cup B)=m^*(A)+m^*(B)$.

2. 可测集

定义 设 $E\subset\mathbb{R}^n$, 称 $E$ 可测, 如果对于 $\forall T\subset\mathbb{R}^n$, 有

$$m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T\setminus E)$$

记为 $E\in\mathcal{M}(n)$.
对于 $\forall E\in\mathcal{M}(n)$, 定义 $m(E)=m^*(E)$, 称为 $E$ 的测度.

注 对于定义,

1. 只需验证 $m^*(T)\geq m^*(T\cap E)+m^*(T\setminus E)$;
2. 只需对 $m^*(T)<+\infin$ 的 $T$ 验证1;
3. 当 $A\in\mathcal{M}(n)$, $A\cap B=\emptyset$ 时, $m^*(A\cup B)=m^*(A)+m^*(B)$;
4. $\forall T$, 当 $A\in\mathcal{M}(n)$, $A\cap B=\emptyset$ 时, $m^*(T\cap(A\cup B))=m^*(T\cap A)+m^*(T\cap B)$.

例 $\emptyset,\mathbb{R}^n\in\mathbb{M}(n)$.

例 0测集 $\subset \mathbb{M}(n)$.

定理 我们有

1. $\emptyset\in\mathcal{M}(n)$;
2. 若 $E\in \mathcal{M}(n)$, 则 $E^c\in\mathcal{M}(n)$;
3. 若 $E\in\mathcal{M}(n)$, 则 $\bigcup_{i=1}^{+\infin}E_i\in\mathcal{M}(n)$.

命题 设 $E_i\in\mathcal{M}(n)$,

1. $E_i\subset E_{i+1}$时, 有

$$\lim_{i\to+\infin}m(E_i)=m(\bigcup_{i=1}^{+\infin}E_i)=m(\lim_{i\to+\infin}E_i)$$

2. $E_i\supset E_{i+1}$ 且 $m(E_i)<+\infin$ 时, 有

$$\lim_{i\to+\infin}m(E_i)=m(\bigcap_{i=1}^{+\infin}E_i)=m(\lim_{i\to+\infin}E_i)$$

3. $E_i\cap E_j=\emptyset,i\neq j$时, 有

$$m(\bigcup_{i=1}^{+\infin}E_i)=\sum_{i=1}^{+\infin}m(E_i)$$

例 (上述2中条件的必要性) 取 $\mathbb{R}^2$ 中, $E_i=\mathbb{R}\times [0,\frac{1}{i}]$, 那么 $m(E_i)=+\infin$, 但 $m(\bigcap_{i=1}^{+\infin}E_i)=m(\mathbb{R}\times {0})=0$.

定义 设 $X$ 是集合, $\mathcal{A}\subset 2^X$, 称 $\mathcal{A}$ 是 $X$ 上 $\sigma$-代数, 如果

1. $\emptyset\in\mathcal{A}$;
2. 若 $A\in\mathcal{A}$, 则 $A^c\in\mathcal{A}$;
3. 若 $A_i\in\mathcal{A}$, 则 $\bigcup_{i=1}^{+\infin}A_i\in\mathcal{A}$.

3. Borel集可测, Lebesgue测度的正则性

Borel集可测

引理 令 $\mathcal{A}$ 是 $X$ 上 $\sigma$-代数, 则

1. 若 $A_i\in\mathcal{A},i=1,2,\cdots,n$, 则 $\bigcup_{i=1}^k A_i\in\mathcal{A}$;
2. 若 $A,B\in\mathcal{A}$, 则 $A\setminus B\in\mathcal{A}$;
3. 若 $A_i\in\mathcal{A},i=1,2,\cdots$, 则 $\bigcap_{i=1}^{+\infin}A_i,\bigcap_{i=1}^k A_i\in\mathcal{A}$.

例 $\mathcal{A}=\{\emptyset,X\}$ 是$\sigma$-代数.

例 $\mathcal{M}(n)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上$\sigma$-代数.

引理 令 $\mathcal{A}_i(i\in I)$ 是 $X$ 上 $\sigma$-代数, 则 $\bigcap_{i\in I}\mathcal{A}_i$ 是 $X$ 上 $\sigma$-代数.

定义 令 $E\subset X$, $\mathcal{A}(E)=\{X$ 上 $\sigma$-代数, 且 $E\subset \mathcal{A}\}$, 定义 $X$ 上包含了 $E$ 的最小 $\sigma$-代数

$$B(E)=\bigcap_{\mathcal{A}\in\mathcal{A}(E)}\mathcal{A}$$

称 $B(E)$ 是 $X$ 上包含了 $E$ 的Borel $\sigma$-代数.

定义 $\mathbb{R}^n$ 上, 称包含了所有开集的最小 $\sigma$-代数为 $\mathbb{R}^n$ 上Borel代数, 记为 $\mathcal{B}(n)$. $\mathcal{B}(n)$ 中元素称为Borel集.

定义 记 $G_\delta$-集为至多可列开集的交, $F_\sigma$-集为至多可列闭集 (紧集) 的并.

定理 闭集可测.

引理 $\overline{B_r(p)}$ 可测.

定理 $\mathcal{B}(n)\subset\mathcal{M}(n)$.

推论 令 $E\in\mathcal{M}(n)$, 则

1. • ($\sigma$-有限性) *$\exists E_1,E_2,\cdots\in\mathcal{M}(n)$, $E_i\subset E_{i+1}$, 且 $m(E_i)<+\infin$, $\bigcup_{i=1}^{+\infin}E_i=E$.
2. $\exists E_1,E_2,\cdots\in\mathcal{M}(n)$, $E_i\cap E_j=\emptyset\quad\forall i\neq j$, 且 $m(E_i)<+\infin$, $\bigcup_{i=1}^{+\infin}E_i=E$.

可测集正则性

定理 令 $E\in\mathcal{M}(n)$, 则 $\forall \epsilon>0$,

1. 存在开集 $U\supset E$, s.t. $m(U\setminus E)<\epsilon$;
2. 存在闭集 $F\subset E$, s.t. $m(E\setminus F)<\epsilon$.

推论 令 $E\in\mathcal{M}(n)$, 则存在 $G_\delta$ 集 $G$, $F_\sigma$ 集 $F$, s.t. $F\subset E\subset G$, 且 $m(G\setminus F)=0$.

不可测集正则性

引理 令$E\subset\mathbb{R}^n$, 则 $\exist\epsilon>0$, s.t. $E\subset U$ 且 $m(U)\leq m^*(E)+\epsilon$.

推论 令 $E\subset\mathbb{R}^n$, 则存在 $G_\delta$ 集 $G$, s.t. $E\subset G$, 且 $m^*(E)=m(G)$.

例 设 $E_i\subset\mathbb{R}^n$, 则

$$m^*(\lim_{i\to+\infin}E_i)\leq\varliminf_{i\to+\infin}m^*(E_i)$$

例 令 $E_i\subset E_{i+1}$, $E_i\subset\mathbb{R}^n$, 则

$$\lim_{k\to+\infin}m^*(E_k)=m^*(\lim_{k\to+\infin}E_k)$$

4. 可测集稠密性

引理 设 $m^*(E)>0$, 则 $\forall \lambda\in (0,1)$, 存在方体 $I$, s.t.

$$\frac{m^*(E\cap I)}{|I|}\geq\lambda$$

定理 (Steinhaus) 设 $E\in\mathcal{M}(n)$, $m(E)>0$, 则 $0$ 是 $E-E$ 内点. 这里 $E-E=\{x-y:x,y\in E\}$.

5. 不可测集

引理 如果 $\exists A_i\subset\mathbb{R}^n$, s.t. $m^*(A_i)>a>0$, 且 $A_i\cap A_j\neq\emptyset$, $m^*(\bigcup_{i=1}^{+\infin}A_i)<+\infin$, 则 $A_i$ 中有不可测集.

定理 $\forall E\subset\mathbb{R}^n$, 当 $m^*(E)>0$ 时, $E$ 有不可测子集.

6. 映射与可测集

定理 设 $T\in C^0(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$, 则 $T$ 把可测集映成可测集当且仅当 $T$ 把0测集映成0测集.

例 设 $T\in\mathrm{Lip}_{loc}$ (即 $\forall R>0$, $\exists C$, s.t. $|T(x)-T(y)|\leq c|x-y|$) , 则 $T:\mathcal{M}(n)\to\mathcal{M}(n)$.

定理 令 $\sigma:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 为线性变换, 则 $\forall E\subset \mathbb{R}^n$,

$$m^*(\sigma(E))=|\det(\sigma)|m^*(E)$$