测度与积分笔记-第七章

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Chapter 7. 抽象测度论

引言

测度满足: $m:\mathcal{M}(n)\to [0,+\infin]$，$m(\empty)=0$，且 $A_i\cap A_j =\empty$ 时，$m(\bigcup_{i=1}^{+\infin} A_i)=\sum_{i=1}^{+\infin} m(A_i)$. 而取 $f$ 非负可测，则 $\nu(A)=\int_A f$ 也满足上述性质。

定义 令 $X$ 是集合，$\mathcal{A}\subset 2^X$，称 $\mathcal{A}$ 是 $\sigma-$ 代数，如果

1. $\empty\in\mathcal{A}$;
2. $A\in\mathcal{A}$，则 $A^c\in\mathcal{A}$;
3. $A_i\in\mathcal{A}$，则 $\bigcup_{i=1}^{+\infin}A_i\in\mathcal{A}$.

注 对 $\sigma-$ 代数 $\mathcal{A}$ 有，

1. $\sigma-$ 代数对有限并，有限交，可列交封闭；
2. $A,B\in\mathcal{A}$，则 $A\setminus B\in\mathcal{A}$;
3. 若 $\mathcal{A}_\alpha(\alpha\in I)$ 是 $\sigma-$ 代数，则 $\bigcap_{\alpha\in I}\mathcal{A}_\alpha$ 是 $\sigma-$ 代数。

定义 令 $A\subset 2^X$, 令 $\mathcal{M}$ 是所有包含了 $A$ 的 $\sigma-$ 代数的交，称 $\mathcal{M}$ 是包含 $A$ 的最小 $\sigma-$ 代数。

例 $f:X\to Y$，$\mathcal{M}_Y$ 是 $Y$ 上 $\sigma-$ 代数，则 $\mathcal{M}=\{f^{-1}(A):A\in\mathcal{M}_Y\}$ 是 $X$ 上 $\sigma-$ 代数。

1. 测度空间

定义 令 $X$ 是集合，$\mathcal{M}$ 是 $X$ 上 $\sigma-$ 代数，$\mu:\mathcal{M}\to[0,+\infin]$，称 $\mu$ 是 $(X,\mathcal{M})$ 上测度，如果

1. $\mu(\empty)=0$，
2. $A_1,A_2,\cdots\in\mathcal{M}$ 两两不交时，$\mu(\bigcup_{i=1}^{+\infin} A_i)=\sum_{i=1}^{+\infin} \mu(A_i)$.

此时称 $(X,\mathcal{M},\mu)$ 是一个测度空间。称 $A\subset X$ 可测，当且仅当 $A\in\mathcal{M}$.

引理 我们有

1. $A_1,\cdots,A_k\in\mathcal{M}$ 两两不交时，$\mu(\bigcup_{i=1}^{k} A_i)=\sum_{i=1}^{k} \mu(A_i)$;
2. $A\subset B$，$A,B\in\mathcal{M}$，则 $\mu(B)-\mu(A)=\mu(B\setminus A)$，$\mu(A)\leq\mu(B)$;
3. $A_1,A_2,\cdots\in\mathcal{M}$，有 $\mu(\bigcup_{i=1}^{+\infin} A_i)\leq \sum_{i=1}^{+\infin} \mu(A_i)$.

例 $X$ 集合，$A\subset X$，$\mathcal{M}=2^X$，$\mu(A)=\#A$.

例 $\mathcal{M}=2^X$，令 $x_0\in X$，

$$\mu(A)=\begin{cases}1,\quad x_0\in A\\0,\quad x_0\notin A\end{cases}$$

例 $X=\mathbb{R}^2$，$\mathcal{M}=\mathcal{B}$，记 $m_1$ 为 $1-$ 维 Lebesgue 测度，$\mu(A)=m_1(\{x:(x,0)\in A\})=m_1(A\cap \mathbb{R})$.

例 $X=\mathbb{R}^2$，$\mathcal{M}=\mathcal{B}$，记 $m_1$ 为 $1-$ 维 Lebesgue 测度，$A_y=\{x:(x,y)\in A\}$,

$$\mu(A)=\begin{cases}+\infin,\quad 存在不可数 y \;\mathrm{s.t.}\;m_1((A_i)_y)>0\\\sum_y m_1(A_y),\quad 其它\end{cases}$$

例 $(X,\mathcal{M},\mu)$ 是测度空间，$P\in\mathcal{M}$，令 $\mu'(A)=\mu(A\cap P)$，则 $\mu'|_{X\setminus P}=0$，那么 $\mu'$ 是 $(X,\mathcal{M})$ 上测度，记为 $\mu'=\mu\llcorner P$.

例 令 $\mathcal{M}_i$ 是 $X$ 上代数，$\mu_i$ 是 $(X,\mathcal{M}_i)$ 上测度，$i=1,2$，在 $\mathcal{M}=\mathcal{M}_1\cap \mathcal{M}_2$ 上定义 $\mu(A)=\mu_1(A)+\mu_2(A)$，则 $(X,\mathcal{M},\mu_1+\mu_2)$ 是测度空间。

例 令 $f:X\to Y$ 映射，$\mathcal{M}_Y$ 是 $Y$ 上 $\sigma-$ 代数，$\mu$ 是 $(Y,\mathcal{M}_Y)$ 上测度，令 $\mathcal{M}_X=\{f^{-1}(A):A\in\mathcal{M}_Y\}$，$\nu(f^{-1}(A))=\mu(A)$，记为 $\nu=f^*(\mu)$，则 $(X,\mathcal{M}_X,f^*(\mu))$ 是测度空间。

引理 在 $(X,\mathcal{M},\mu)$ 上，

1. 令 $A_1\subset A_2\subset\cdots$，$A_i\in\mathcal{M}$，则

$$\lim_{k\to+\infin}\mu(A_k)=\mu(\bigcup_{i=1}^{+\infin}A_i)$$

1. 令 $A_1\supset A_2\supset\cdots$，$A_i\in\mathcal{M}$，$\mu(A_1)<+\infin$，则

$$\lim_{k\to+\infin}\mu(A_k)=\mu(\bigcap_{i=1}^{+\infin}A_i)$$

定义 称性质 $P$ a.e. 成立，若 $\exists A\in\mathcal{M}$ s.t. $\mu(A)=0$，$P$ 在 $X\setminus A$ 上成立。

注 零测集的子集不一定零测。

例 $(\mathbb{R}^n,2^{\mathbb{R}^n},\mu)$，

$$\mu(A)=\begin{cases}1,\quad 0\in A\\0,\quad 0\notin A\end{cases}$$

记 $\varphi,\phi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$，则 $\varphi(0)=\phi(0)$ $\Leftrightarrow$ $\varphi,\phi$ a.e. 相等。

构造测度

定义 令 $X$ 是集合，$\mu:2^X\to[0,+\infty]$，称 $\mu$ 是 $X$ 上外测度，如果

1. $\mu(\empty)=0$；
2. $\forall A\subset B$，$\mu(A)\leq\mu(B)$；
3. $A_1,A_2,\cdots\subset X$，有 $\mu(\bigcup_{i=1}^{+\infty}A_i)\leq\sum_{i=1}^{+\infty}\mu(A_i)$.

定义 令 $\mu$ 是 $X$ 上外测度，称 $E\subset X$ 是可测集，如果 $\forall T\subset X$，有

$$\mu(T)=\mu(T\cap E)+\mu(T\cap E^c)$$

记 $\mathcal{M}(\mu)$ 是 $\mu-$ 可测集集。

注 定义可等价的验证 $\forall T$，当 $\mu(T)<+\infty$ 时，有 $\mu(T)\geq\mu(T\cap E)+\mu(T\setminus E)$.

定理 $\mathcal{M}(\mu)$ 是 $\sigma-$ 代数，且 $(X,\mathcal{M}{(\mu)},\mu|_{\mathcal{M}(\mu)})$ 是测度空间。

例 $\mu(A)=0$，则 $A\in\mathcal{M}(\mu)$。

例 $\mu$ 是 $X$ 上外测度，$A\subset X$，则 $\mu$ 是 $A$ 上外测度。