测度与积分笔记-第六章

Chapter 6. 覆盖定理, BV 函数, AC 函数

1. 覆盖定理

覆盖定理

定理 记 $B=\overline{B_r(x)}$ 为闭球, 定义 $\hat{B}=\overline{B_{5r}(x)}$. 设 $A\subset \mathbb{R}^n$, $\mathcal{B}$ 是 $A$ 的闭球覆盖且 $\sup_{B\in\mathcal{B}} r(B)<\infin$, 那么存在 $B_1,B_2,\cdots\in\mathcal{B}$ s.t.

1. $B_i\cap B_j=\empty,\forall i\neq j$;
2. $A\subset \bigcup_{i=1}^{+\infin}\hat{B_i}$.

注 半径可换为 $1+2a$, $a>1$.

定义 设 $\mathcal{B}$ 是 $A$ 上闭球覆盖, 称 $\mathcal{B}$ 是 $A$ 的 fine cover, 如果 $\forall x\in A$, 有 $\inf_{x\in B\in\mathcal{B}}r(B)=0$, i.e. $\forall \epsilon>0$, $\exists B\in\mathcal{B}$, s.t. $r(B)<\epsilon$ 且 $x\in B$.

定理 令 $\mathcal{B}$ 是 $A$ 的 fine cover, 那么存在 $B_1,B_2,\cdots\in\mathcal{B}$ s.t.

1. $B_i\cap B_j=\empty,\forall i\neq j$;
2. $A\setminus \bigcup_{i=1}^N B_i\subset \bigcup_{i=N+1}^{+\infin}\hat{B_i}$.

注 对列紧的距离空间 $(X,d)$, 上述定理成立. 例如在 $\mathbb{R}^n$, 取 $d(x,y)=\max\{|x_i-y_i|:i=1,2,\cdots,n\}$, 则 $B_r(x)=[x_1-r,x_1+r]\times\cdots\times[x_n-r,x_n+r]$.

例 令 $U$ 是开集, 则存在闭球 $B_1,B_2,\cdots$, s.t. $B_i\cap B_j=\empty,\forall i\neq j$, $B_i\subset U$, $r(B_i)<\delta$, 且

$$m(U\setminus\bigcup_{i=1}^{+\infin}B_i)=0$$

推论 (Vitali) 设 $A\subset \mathbb{R}^n$, $\mathcal{B}$ 是 $A$ 上 fine cover, 则

1. 当 $m^*(A)<+\infin$, $\forall\epsilon>0$, $\exists B_1,B_2,\cdots,B_k\in \mathcal{B}$, s.t. $B_i\cap B_j=\empty,\forall i\neq j$ 且

$$m^*(A\setminus\bigcup_{i=1}^k B_i)<\epsilon,\quad m^*(\bigcup_{i=1}^k B_i)\leq m^*(A)+\epsilon$$

2. $\forall\epsilon>0$, $\exists B_1,B_2,\cdots\in \mathcal{B}$, s.t. $B_i\cap B_j=\empty,\forall i\neq j$ 且

$$m^*(A\setminus\bigcup_{i=1}^{+\infin} B_i)=0,\quad m^*(\bigcup_{i=1}^{+\infin} B_i)\leq m^*(A)+\epsilon$$

2. 覆盖定理的应用

用球定义 Lebesgue 测度

定理 对 $A\subset\mathbb{R}^n$, 有

$$m^*(A)=\inf\{\sum_{i=1}^{+\infin}\omega_nr_i^n:A\subset \bigcup_{i=1}^{+\infin}\overline{B_{r_i}(x_i)}\}$$

例 进一步的,

1. $A\subset \mathbb{R}^n$, 则

$$m^*(A)=\inf\{\sum_{i=1}^{+\infin}m(\overline{B_{r_i}(x_i)}):A\subset \bigcup_{i=1}^{+\infin}\overline{B_{r_i}(x_i)},x_i\in\mathbb{Q}^n,r_i\in\mathbb{Q}^n\}$$

2. 令 $\mathcal{B}$ 是 $A$ 的闭球覆盖, 如果 $\forall x\in A$, $\exists r_x>0$, s.t. $\overline{B_r(x)}\in\mathcal{B}$, $\forall r<r_x$, 则

$$m^*(A)=\inf\{\sum_{i=1}^{+\infin}m(B_{r_i}(x_i)):A\subset \bigcup_{i=1}^{+\infin}\overline{B_{r_i}(x_i)},x_i\in A,\overline{B_{r_i}(x_i)}\in\mathcal{B}\}$$

密度函数

定义 设 $E\subset \mathbb{R}^n$, $\forall x\in\mathbb{R}^n$, 定义

$$\theta^*(x)=\varlimsup_{r\to0}\frac{m^*(E\cap B_r(x))}{m(B_r(x))}$$

$$\theta_*(x)=\varliminf_{r\to0}\frac{m^*(E\cap B_r(x))}{m(B_r(x))}$$

$E\in\mathcal{M}(n)$ 时, $\theta_*(x)=\theta^*(x)$, 称为密度函数.

引理 $E\in\mathcal{M}(n)$ 时, 对 a.e. $x\notin E$,

$$\lim_{r\to0}\frac{m(E\cap \overline{B_r(x)})}{m(\overline{B_r(x)})}=0$$

定理 $E\in\mathcal{M}(n)$ 时, 对 a.e. $x\in E$,

$$\lim_{r\to0}\frac{m(E\cap \overline{B_r(x)})}{m(\overline{B_r(x)})}=1$$

例 $E\subset\mathbb{R}^n$, $m^*(E)=0$, 设

$$\varlimsup_{r\to0}\frac{m^*(\overline{B_r(x)}\setminus E)}{m(\overline{B_r(x)})}=0,\quad \mathrm{a.e.}x$$

则 $E\in\mathcal{M}(n)$.

Hardy - Littlewood 函数

定义 令 $f\in L_{loc}^1(\mathbb{R}^n)$, 定义

$$f^*(x)=\sup_{r\to0}\frac{1}{m(\overline{B_r(x)})}\int_{\overline{B_r(x)}}|f|$$

为 $f$ 的 Hardy - Littlewood 函数.

引理 令 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$, $M_t=\{x:f^*(t)>t\}$, 则 $\exists c=c(n)\leq 5^n$, s.t.

$$m(M_t)\leq\frac{c}{t}||f||_{L^1(\mathbb{R}^n)}$$

定理 (Lebesgue 定理) 设 $f\in L_{loc}^1(\mathbb{R}^n)$, 则对 a.e. $x\in\mathbb{R}^n$, 有

$$f(x)=\lim_{r\to0}\frac{1}{m(\overline{B_r(x)})}\int_{\overline{B_r(x)}}f(y)dy$$

或者

$$\lim_{r\to0}\frac{1}{m(\overline{B_r(x)})}\int_{\overline{B_r(x)}}|f(y)-f(x)|dy=0$$

注 定义 $f^*=\sup_{x\in B}\frac{1}{m(B)}\int_B|f|$, 仍有 $m(\{x:f^*>t\})\leq\frac{c(n)}{t}||f||_{L^1}$, 有

$$f(x)=\lim_{x\in B,r(B)\to0}\frac{1}{m(B)}\int_{B}f(y)dy\quad \mathrm{a.e.}x\in\mathbb{R}^n$$

例 $n=1$, $f\in L^1(\mathbb{R})$, 则 $F(x)=\int_a^{a+x}f(t)dt$ a.e. 可微, $F'(x)=f(x)$.

定理 (Lebesgue 定理) 令 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 单调增, 则 $f$ a.e. 可微, 且

$$\int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a)$$

引理 $f$ 在 $[a,b]$ 单调增, 令 $A\subset[a,b]$ 且 $\forall x\in A$, 有 $\varlimsup_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}>t$, 则 $tm^*(A)\leq f(b)-f(a)$.

推论 令 $f_k$ 在 $[a,b]$ 单调增, 且 $\sum_{k=1}^{+\infin}f_k$ 点点收敛, 则 $\sum_{k=1}^{+\infin} f_k'$ a.e. 收敛, 且

$$\sum_{k=1}^{+\infin} f_k'=(\sum_{k=1}^{+\infin}f_k)'$$

推论 设 $f_k$ 在 $[a,b]$ 上单增, 且 $f_k\to0$, 则 $\exists k_i$, s.t. $f_{k_i}'\to0$ a.e.

积分变换公式

以下假设 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 为区域, $f\in C_{loc}^1(\Omega,\mathbb{R^n})$.

引理 设 $E\subset\Omega$, $m(E)=0$, 则 $m(f(E))=0$.

引理 $\forall x\in\Omega$,

$$\lim_{r\to0}\frac{m(f(\overline{B_r(x)}))}{m(\overline{B_r(x)})}=|\det J_f(x_0)|$$

引理 令 $X=\{x\in\Omega:\det(J_f(x))=0\}$, 则 $m(f(X))=0$.

定理 设 $f\in C^1(\Omega,\mathbb{R}^n)$, 单射, 则对可测的 $E\subset\Omega$, 有 $m(f(E))=\int_E |J_f(x)|$.

引理 令 $E$ 是 $f(\Omega)$ 上零测集, 则 $f^{-1}(E)\setminus X$ 是零测集.

定理 记 $\#(f,y,\Omega)=f^{-1}({y})$ 的个数 $\in\mathbb{Z}^+\cup\{0,+\infin\}$, 则

$$\int_{\mathbb{R}^n}\#(f,y,\Omega)g(y)dy=\int_{\Omega}g(f(x))|J_f(x)|dx$$

3. BV 函数

定义 令 $f$ 是 $[a,b]$ 上实函数, $I:x_0=a<x_1<\cdots<x_n=b$ 是一划分, 定义 $V(I)=\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_i)-f(x_{i+1})|$, $V_a^b(f)=\sup_I V(I)$, 当 $V_a^b(f)<+\infin$ 时称 $f$ 是 $[a,b]$ 上 BV 函数, 记为 $f\in BV [a,b]$.

引理 我们有

1. $V_a^b(f)\geq f(b)-f(a)$;
2. $BV[a,b]$ 是 $\mathbb{R}$ 上线性空间;
3. $f\in BV[a,b]$, 则 $|f|,f^+,f_-\in BV[a,b]$;
4. 令 $f^*$ 是 $f$ 关于 $y=y^*$ 对称函数, 则 $V_a^b(f)=V_a^b(f^*)$;
5. $V_a^b(f)=\sup_{\lambda(I)<\delta}V(f,I)$, 从而 $V_a^b(f)=\varlimsup_{\lambda(I)\to0}V(I)$.

例 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上单增, 则 $V(f,I)=f(b)-f(a)$.

例 设 $|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|$, $\forall x,y\in[a,b]$, 则 $V_a^b(f)\leq L(b-a)$.

例 $f\in C^1[a,b]$, 则 $f\in BV[a,b]$.

例 $f(x)=x\cos\frac{1}{x}$, $x\in[0,\frac{1}{2\pi}]$, 则 $V_a^b(f)=+\infin$.

定理 $c\in(a,b)$, 则 $V_a^b(f)=V_a^c(f)+V_c^b(f)$. 或者说, $f\in BV[a,b]$ 当且仅当 $f\in BV[a,c]$ 且 $f\in BV[c,b]$.

定理 (Jordan) $f\in BV[a,b]$, 则 $V_a^x(f)\pm f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单增.

推论 $f\in BV[a,b]$ 当且仅当 $f$ 是两个单调函数的差. 进一步地, $f$ a.e. 可微.

例 若 $f$ 单调递增, 则 $V_a^x(f)=f(x)-f(a)$.

定理 设 $f\in BV[a,b]$, 则 $(V_a^x(f))'=|f'|$.

4. AC 函数

定义 称 $f\in AC[a,b]$, 如果 $f$ a.e. 可微, $f'\in L^1[a,b]$ 且

$$f(x)-f(a)=\int_a^x f'(t)dt,\quad\forall x\in[a,b]$$

引理 关于 AC 函数有,

1. $f\in AC[a,b]$ 等价于 $\exists g\in L^1[a,b]$, s.t.

$$f(x)=f(a)+\int_a^x g(t)dt,\quad \forall x\in[a,b]$$

2. $AC[a,b]$ 是线性空间;
3. 令 $c\in(a,b)$, 则 $f\in AC[a,b]$ 当且仅当 $f\in AC[a,c]$ 且 $f\in AC[c,b]$;
4. $AC[a,b]\subset C[a,b]\cap BV[a,b]$.

引理 令 $g_k,g\in L^1[a,b]$, $g_k\overset{L^1[a,b]}{\to}g$, $f_k(x)=\int_a^x g_k(t)dt$, 则存在子列 $i_k$, s.t. $f_{i_k}\overset{C^0[a,b]}{\to}\int_a^xg(t)dt$.

推论 $f,g\in AC[a,b]$, 则

1. $fg\in AC[a,b]$, 且 $(fg(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ a.e.;
2. $f(x)g(x)|_a^b=\int_a^b f'gdt+\int_a^b fg' dt$.

推论 $f\in AC[a,b]$, 则 $|f|\in AC[a,b]$ 且 $|f'|=||f|'|$.

定理 令 $\mathcal{F}_1[a,b]=\{f\in C[a,b]:f$ a.e. 可微 $, f'\in L^1\}$, 则 $\mathcal{F}_1[a,b]=AC[a,b]$.

定义 令 $\mathcal{F}_2[a,b]=\{f:$ 对 $\forall \epsilon>0,\exists \delta,$ 当 $a_1\leq a<b_1<a_2<b_2<\cdots<a_n<b_n=b$ 满足 $\sum_{i=1}^n(b_i-a_i)<\delta$ 时, 有 $\sum_{i=1}^n|f(b_i)-f(a_i)|<\epsilon\}$.

引理 对于 $\mathcal{F}_2[a,b]$, 有

1. 若 $f\in \mathcal{F}_2[a,b]$, 则 $f\in C[a,b]\cap BV[a,b]$;
2. $\mathcal{F}_2[a,b]$ 是线性空间;
3. 定义中 $\sum_{i=1}^n|f(b_i)-f(a_i)|<\epsilon$ 可以换为 $\sum_{i=1}^n osc_{[a_i,b_i]}f<\epsilon$.

引理 令 $f\in \mathcal{F}_2[a,b]$, $f'=0$ a.e., 则 $f=$ 常数.

定理 $\mathcal{F}_2[a,b]=AC[a,b]$.

注 $W^{1,1}(a,b)=AC[a,b]$.

例 $f\in C^1(0,1]$, $f(1)=1$ 满足 $|f'(x)|\leq |\frac{f(x)}{x}+x|$, 则

$$x^2\leq |f(x)|\leq \frac{4-x^3}{3x}$$

例 已知 $w(r)\in C^1 (0,1]$, 满足 $\varlimsup_{r\to0+}w<1$,

$$|rw+w'|\leq w^2+r\log\frac{1}{r}$$

则 $|w(r)|\leq cr\log\frac{1}{r}$.