测度与积分笔记-第三章

Chapter 3. 可测函数

1. 引言

定义 设 $E\subset\mathbb{R}^n$, 称性质 $P$ 在 $E$ 上几乎处处成立 (a.e.) , 若存在0测集 $F$ , s.t. $P$ 在 $E\setminus F$ 上成立.

例 取

$$f(x)=\begin{cases}0,\quad x\notin\mathbb{Q}\\1,\quad x\in\mathbb{Q}\end{cases}$$

则 $f(x)=0$ a.e.

例 取

$$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{\sin\pi(x+y)},\quad x+y\notin\mathbb{Z}\\0,\quad x+y\in\mathbb{Z}\end{cases}$$

则 $\sin\pi(x+y)f(x,y)=1$ a.e.

例 $f(x)=\sin^2\frac{1}{x},x\in[0,1]$, 则 $f>0$ a.e.

例 $f_n(x)=x^n,x\in[0,1]$, 则 $f_n\to 0$ a.e. $x$.

定义 $X$ 是集合, 令

$$\mathcal{F}(X)=\{f:X\to[-\infin,+\infin]\}$$

$$\mathcal{F}^*(X)=\{f\in\mathcal{F}(X):|f|<+\infin\; a.e.\; X\}$$

(对 a.e. $x$, $f\in\mathbb{R}$)

注 在 $\mathcal{F}^*(X)$ 上定义 $f\sim g$, 如果 $f=g$ a.e. $x\in X$.
对于 $[f],[g]\in\mathcal{F}^*/\sim$, 可以定义加减乘除, 例如令

$$h_1=\begin{cases}f+g,\quad |f|,|g|\in\mathbb{R}\\0\end{cases},\quad h_2=\begin{cases}\frac{f}{g},\quad |f|,|g|\in\mathbb{R},|g|\neq0\\0\end{cases}$$

那么可以定义 $[f]+[g]=[h_1]$, $\frac{[f]}{[g]}=[h_2]$.

2. 可测函数

定义 令 $E\in\mathcal{M}(n)$. 称 $f\in\mathcal{F}(E)$ 是可测的, 如果对 $\forall t\in\mathbb{R}$, 有

$$\{x:f(x)<t\}\in\mathcal{M}(n)$$

记为 $f\in\mathcal{MF}(n)$.

注 1) 只需对 $\forall t\in\mathbb{Q}$ 验证;
2)定义中条件

$$\begin{aligned}\forall t, \{x:f(x)<t\}\in\mathcal{M}(n)&\Leftrightarrow \forall t, \{x:f(x)\leq t\}\in\mathcal{M}(n)\\&\Leftrightarrow \forall t, \{x:f(x)>t\}\in\mathcal{M}(n)\\&\Leftrightarrow \forall t, \{x:f(x)\geq t\}\in\mathcal{M}(n)\\&\Leftrightarrow \forall s<t, \{x:s<f(x)<t\}\in\mathcal{M}(n)\end{aligned}$$

注 当 $f\sim g$ 时, $f$ 可测 $\Leftrightarrow$ $g$ 可测;
称 $[f]\in\mathcal{F}^*(E)/\sim$ 可测, 如果 $f$ 可测.

$$\{[f]\in\mathcal{F}^*(E)/\sim,可测\}=\mathcal{MF}^*(E)/\sim$$

例 若 $f\in\mathcal{MF}^(E)$, 那么 $\{x\in E:f(x)=+\infin\}\in\mathcal{M}(n)$, $\{x\in E:f(x)<+\infin\}\in\mathcal{M}(n)$.

例 连续函数、a.e. 连续函数可测.

例 $[a,b]$ 上单调函数可测.

例 $E\in\mathcal{M}(n)$, 定义

$$\chi_E(x)=\begin{cases}1,\quad x\in E\\0,\quad x\notin E\end{cases}$$

可测.

例 设 $f\in\mathcal{MF}(E)$, $t\in\mathbb{R}$, 定义 $f^t=\max\{f,t\}$, $f_t=\min\{f,t\}$ 可测.

例 设 $E\in\mathcal{M}(n)$, $f\in\mathcal{MF}(E)$, 那么

$$\hat{f}=f\cdot\chi_E(x)=\begin{cases}f(x),\quad x\in E\\0,\quad x\notin E\end{cases}$$

$\hat{f}:\mathbb{R}^n\to[-\infin,+\infin]$可测. ($\mathcal{MF}(E)\hookrightarrow\mathcal{MF}(\mathbb{R}^n)$)

命题 1) 令 $E,F\in\mathcal{M}(n)$, $F\subset E$, 则若 $f\in\mathcal{MF}(E)$, 则 $f\in\mathcal{MF}(F)$;
2)令 $E_1,E_2\in\mathcal{M}(n)$, $E=E_1\cup E_2$, 则 $f\in\mathcal{MF}(E)$ $\Leftrightarrow$ $f|_{E_1}\in\mathcal{MF}(E_1)$ 且 $f|_{E_2}\in\mathcal{MF}(E_2)$.

命题 设 $f,g$ 是 $E$ 上实值可测函数, 则:

1. $\forall\lambda\in\mathbb{R}$, $\lambda f\in\mathcal{MF}(E)$;
2. $f+g\in\mathcal{MF}(E)$;
3. $f\cdot g\in\mathcal{MF}(E)$;
4. $g\neq0$ 对 $\forall x$ 时 $\frac{f}{g}\in\mathcal{MF}(E)$.

推论 设 $f,g\in\mathcal{MF}^*(E)/\sim$, 则

1. $\forall\lambda\in\mathbb{R}$, $\lambda f\in\mathcal{MF}^*(E)/\sim$;
2. $f+g,fg\in\mathcal{MF}^*(E)/\sim$;
3. $g\neq0$ 对 a.e. $x\in E$ 时 $\frac{f}{g}\in\mathcal{MF}^*(E)/\sim$.

命题 令 $f_k\in\mathcal{MF}(E)$, 则
1)$\sup_{i\geq k}f_i$; 2) $\inf_{i\geq k}f_i$; 3) $\varlimsup_{k\to+\infin}f_k$; 4) $\varliminf_{k\to+\infin}f_k$
均 $\in\mathcal{MF}(E)$.

推论 $f_k\in\mathcal{MF}(E)$, 且 $\lim_{k\to+\infin}f_k(x)=f(x)$ a.e. $x\in E$, 则 $f\in\mathcal{MF}(E)$.

例 $f$ 是 $(a,b)$ 上实函数, a.e. 可微, 则 $f'(x)\in\mathcal{MF}((a,b))$.

定义 称 $E$ 上实函数是简单函数, 如果
1)$f$ 可测; 2) $f(E)$ 有限.

定理 设 $f\in\mathcal{MF}(E)$ 非负, 那么存在简单函数列 $f_1\leq f_2\leq\cdots$, s.t.

$$\lim_{k\to+\infin}f_k(x)=f(x),\quad\forall x\in E$$

当 $f$ 有界时, 有 $f_k\overset{E}\rightrightarrows f$.

推论 $f\in\mathcal{MF}(E)$, 则存在简单函数 $f_n$ s.t. $|f_k|<|f|$ 且 $f_k\to f$ $\forall x\in E$; 当 $f$ 有界时可取 $f_k$ s.t. $f_k\rightrightarrows f$.

注 实际上 $f_k\chi_{B_k(0)}\to f$ $\forall x$, $|f_k\chi_{B_k(0)}|\leq|f|$, $\mathrm{supp}f_k\chi_{B_k(0)}(x)\subset B_k(0)$.

3. 收敛

收敛: 点点收敛, a.e.收敛, 一致收敛等

点点收敛:

$$\{x:\lim_{k\to+\infin}f_k\neq f\}=\bigcup_{m=1}^{+\infin}\bigcap_{k=1}^{+\infin}\bigcup_{i=k}^{+\infin}\{x:|f_i(x)-f(x)|>\frac{1}{m}\}$$

$$\{x:\lim_{k\to+\infin}f_k= f\}=\bigcap_{m=1}^{+\infin}\bigcup_{k=1}^{+\infin}\bigcap_{i=k}^{+\infin}\{x:|f_i(x)-f(x)|\leq\frac{1}{m}\}$$

一致收敛: 若 $\exists N(m)$,

$$\bigcap_{m=1}^{+\infin}\bigcap_{k=N(m)}^{+\infin}\{x:|f_k(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\}\supset F$$

则 $f_k\overset{F}\rightrightarrows f$.

定理 *(Egroff) * 设 $m(E)<+\infin$, $f_k,f\in\mathcal{MF}^*(E)$. 设 $f_k\to f$ a.e., 则对 $\forall\delta>0$, $\exists F\subset E$, s.t. $m(F)<\delta$, 且 $f_k\overset{E\setminus F}\rightrightarrows f$.

例 ($m(E)<+\infin$ 条件的必要性) 令 $f_k(x)=\chi_{[0,k]}(x)\in\mathcal{MF}([0,+\infin))$, 则 $f_k(x)\to\chi_{[0,+\infin)}$ $\forall x$.

例 $f_k(x)=x^k$, $x\in[0,1]$, 那么 $f_k(x)\to0$ a.e. $x$, 且$f_k\overset{[0,1-\delta)}\rightrightarrows 0$, $\forall\delta\in(0,1)$.

定义 设 $f_k,f\in\mathcal{MF}^*(E)$, 称 $f_k$ 依测度收敛到 $f$, 如果对 $\forall\epsilon>0$,

$$m(\{x:|f_k-f|<\epsilon,|f_k|<+\infin,|f|<+\infin\})\to0$$

记为$f_k\overset{m,E}\rightarrow f$.

例 取

$$f_{2^k+i}(x)=\begin{cases}1,\quad \frac{i}{2^k}\leq x<\frac{i+1}{2^k}\\0,\quad\mathrm{otherwise}\end{cases},\quad i=0,1,\cdots,2^k-1,\,k=0,1,\cdots$$

有 $f_k\overset{m}\rightarrow 0$ 但 $f_k\nrightarrow f$, $\forall x\in[0,1)$.

引理 若 $f_k\sim f_k'$, $f\sim f'$, 则 $f_k\overset{m}\rightarrow f$ $\Leftrightarrow$ $f'_k\overset{m}\rightarrow f'$.

推论 在 $\mathcal{MF}^*(E)/\sim$ 可以定义依测度收敛到 $f$: 称 $[f_k]\overset{m}\rightarrow [f]$ 若 $f_k\overset{m}\rightarrow f$. 在 $\mathcal{MF}^*(E)/\sim$ 依测度收敛极限唯一.

定理 设 $m(E)<+\infin$, $f_k,f\in\mathcal{MF}_\mathbb{R}(E)$, 且 $f_k\to f$ a.e., 则 $f_k\overset{m}\rightarrow f$.

例 ($m(E)<+\infin$ 条件的必要性) 令 $f_k=\chi_{[k,k+1]}:[0,+\infin)\to\mathbb{R}$, 那么 $f_k\to 0$ $\forall x$, 但 $f_k\overset{m}\nrightarrow f$.

定理 设 $f_k,f\in\mathcal{MF}^*(E)$, 设 $\forall\delta>0$, $\exist F$, s.t. $m(E\setminus F)<\delta$, 且 $f_k\overset{E\setminus F}\rightrightarrows f$, 则 $f_k\overset{m,E}\rightarrow f$.

定理 设 $f_k\overset{m,E}\rightarrow f$, 则 $\exist$ 子列 $f_{k_i}$, s.t.

$$f_{k_i}\to f \quad\mathrm{a.e.}\, x\in E$$

定义 设 $f_k\in\mathcal{MF}^* (E)$, 称 $f_k$是 依测度收敛的 Cauchy 列, 如果对 $\forall \epsilon>0$,

$$\lim_{(k,m)\to+\infin}m(\{x\in E:|f_k-f_m|>\epsilon,|f_k|,|f_m|\neq+\infin\})=0$$

定理 $E$ 上依测度收敛的 Cauchy 列依测度收敛.

4. 连续与可测函数

定理 设 $f\in\mathcal{MF}_\mathbb{R}(E)$, 则 $\forall \epsilon>0$, $\exist \mathbb{R}^n$ 上闭集 $F\subset E$, s.t. $m(E\setminus F)<\epsilon$, 且 $f$ 在 $F$ 上连续.

注 可取 $\mathbb{R}^n$ 上闭集 $F'\subset E\cap F$, s.t. $m(E\cap F\setminus F')<\epsilon$.

推论 $\forall f\in\mathcal{MF}_\mathbb{R}(E)$, 对 $\forall \delta>0$, $\exist \varphi\in C(\mathbb{R}^n)$, s.t.

$$m(\{x:f\neq \varphi\})<\delta$$

当 $E$ 有界, 可令 $\varphi$ 为紧支连续函数(即 $\overline{\mathrm{supp}\varphi}=\overline{\{x:\varphi\neq0\}}$ 是紧集) .

推论 $\forall f\in\mathcal{MF}_\mathbb{R}(E)$, $\exist \varphi_k\in C(\mathbb{R}^n)$, s.t.

$$\varphi_k\to f,\quad \mathrm{a.e.} x\in E$$

例 设 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, 满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)$, 若 $f$ 可测, 则 $f$ 线性.

5. 连续函数的复合

命题 当 $f$ 在 $[-\infin,+\infin]$ 上单调时, 若 $g$ 可测, 则 $f\circ g$ 可测.

命题 当 $f\in C(\mathbb{R})$, $g\in\mathcal{MF}_\mathbb{R}(E)$, 则 $f\circ g\in\mathcal{MF}(E)$.

例 若 $f\in\mathcal{MF}_\mathbb{R}(E)$, 则 $e^f$, $\log(1+|f|)$, $\sqrt{|f|}\in\mathcal{MF}_\mathbb{R}(E)$.

命题 当 $f\in \mathcal{MF}_\mathbb{R}(\mathbb{R})$, $g\in C(\mathbb{R}^n)$, 设 $\forall$ 0测集 $A$, $g^{-1}(A)$ 可测, 则 $f\circ g\in\mathcal{MF}(\mathbb{R}^n)$.

命题 当 $f\in \mathcal{MF}_\mathbb{R}(\mathbb{R}^n)$, $g\in C(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$, 设 $\forall$ 0测集 $A$, $g^{-1}(A)$ 可测, 则 $f\circ g\in\mathcal{MF}(\mathbb{R}^n)$.