测度与积分笔记-第四章

Chapter 4. Lebesgue 积分

梗概: 非负简单函数积分 $\to$ 非负可测函数积分(允许 $\int f=+\infin$) $\to$ $\int_E f=\int_E f^+-\int_E f^-$, 当 $\int_E |f|<+\infin$ 时.

定义 令

$$\varphi=\sum_{i=1}^m a_i\chi_{E_i}(x),\quad a_i>0$$

是 $E$ 上非负简单函数, 定义

$$I(\varphi)=\sum_{i=1}^m a_i m(E_i)$$

引理 对于 $I$,

1. $I$ 与 $\varphi$ 的选取无关;
2. 若 $\varphi,\psi$ 非负简单函数, $\lambda>0$, 则

$$I(\lambda\varphi)=\lambda I(\varphi),\quad I(\varphi+\psi)=I(\varphi)+I(\psi)$$

3. 设 $E=E_1\cup E_2$, $E_1\cap E_2=\empty$, 则

$$I(\varphi E)=I(\varphi E_1)+I(\varphi E_2)$$

1. 非负可测函数的积分

定义

定义 令 $f\in\mathcal{MF}(E)$, $f\geq 0$, 定义

$$\int_E f =\sup\{I(\varphi,E):\varphi简单非负,\varphi\leq f\}$$

称为 $f$ 在 $E$ 上(Lebegue)积分. 当 $\int_E f<+\infin$, 称 $f$ 可测.

注 当 $\varphi$ 简单时, $I(\varphi,E)=\int_E \varphi$, 有

$$\int_E f=\sup\{\int_E\varphi:\varphi简单非负,\varphi\leq f\}$$

例 $m(E)=0$, $f$ 非负, 则 $\int_E f=0$. 也有 $\int_E(+\infin)=0$.

例 $\int_E 1=m(E)$.

例 $F\subset E$, $F,E\in\mathcal{F}(n)$, $f$ 在 $F$ 上非负可测, 则

$$\int_Ff=\int_Ef\chi_F=\int_{\mathbb{R}^n}f\chi_F$$

例 令 $E=E_1\cup E_2$, $E_1\cap E_2=\empty$, $E_1,E_2\in\mathcal{M}(n)$, 则 $f$ 在 $E$ 上非负可测且

$$\int_{E_1\cup E_2}f=\int_{E_1}f+\int_{E_2}f$$

例 当 $f\sim g$ 时, $\int_E f=\int_E g$. 当 $f\in\mathcal{MF}(E)/\sim$ 且 a.e. 非负, 可以定义 $\int_E f$.

基本性质

定理 $f,g$ 在 $E$ 非负可测,

1. $0\leq f\leq g$ 时, $\int_E f\leq \int_E g$; 特别的, 若 $f\leq \lambda$, 有 $\int_E f\leq \lambda m(E)$; 若 $f\geq \lambda\geq 0$, 有 $\int_E f\geq \lambda m(E)$;
2. $F\subset E$ 时, $\int_F f\leq \int_E f$;
3. $\int_E f=0 \Leftrightarrow f=0$ a.e.; 当 $f\in\mathcal{MF}/\sim$, $f\geq0$ 时, $\int_Ef=0\Leftrightarrow f=0$;
4. $f$ 可积, 则 $f<+\infin$ a.e. $x\in E$.

Levi 定理

定理 设 $f_k\in\mathcal{MF}(E)$, $f_k\geq0$, 设 $f_k\leq f_{k+1}$ a.e. $x$, 则

$$\int_E\lim_{k\to+\infin}f_k=\lim_{k\to+\infin}\int_Ef_k$$

推论 我们有

1. 设 $f_i\in\mathcal{MF}(E)$ 非负, 则

$$\int_E\sum_{i=1}^{+\infin}f_i=\sum_{i=1}^{+\infin}\int_Ef_i$$

2. 设 $\bigcup_{i=1}^{+\infin}E_i=E$, $E_i\cap E_j=\empty$, $f$ 在 $E$ 上非负可测, 则

$$\int_Ef=\sum_{i=1}^{+\infin}\int_{E_i}f$$

注 没有要求可积性. 例如

$$\int_{[0,1]}\sum_{n=1}^{+\infin}\frac{x^n}{n}=\sum_{n=1}^{+\infin}\int_{[0,1]}\frac{x^n}{n}$$

例 $f,g$ 在 $E$ 上非负可测, $\lambda>0$, 则

$$\int_E \lambda f=\lambda\int_E f,\quad \int_E(f+g)=\int_Ef+\int_Eg$$

Fatou 引理

定理 $f_k$ 在 $E$ 上非负可测, 则

$$\int_E\varliminf_{k\to+\infin}f_k\leq\varliminf_{k\to+\infin}\int_E f_k$$

例 设 $f_k\in\mathcal{MF}(E)$, $f_k\to f$ a.e., $\int_E e^{f_k}\leq 1$, 则 $\int_E e^f\leq 1$.

例 设 $0\leq f_k\leq f$, $f_k\to f$, 则

$$\lim_{k\to+\infin}\int_Ef_k=\int_Ef$$

注 1)Fatou 引理没有要求可积性条件;
2)设 $f(x,\lambda)$ 对 $\forall \lambda\in(0,1)$ 是 $E$ 上非负可测函数, $f(x,\lambda)\to f(x)$ a.e. $x$, 当 $\lambda\to0$ 时有

$$\int_E f(x)\leq \varliminf_{\lambda\to0}\int_E f(x,\lambda)$$

仿射变换

定理 $f$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上非负可测,

1. $\forall h\in\mathbb{R}^n$,

$$\int_{\mathbb{R}^n}f(x+h)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)$$

2. 对非退化线性变换 $\sigma$,

$$\int_{\mathbb{R}^n}f(\sigma(x))\det(\sigma)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)$$

2. 可积函数的积分

定义 令 $f\in\mathcal{MF}(E)$, 称 $f$ 可积, 若 $\int_E|f|<+\infin$. 此时定义

$$\int_E f=\int_Ef^+-\int_Ef^-$$

性质

1. $f$ 可积, 则 $f$ a.e. 有限;
2. $f,g$ 可积, 则 $\forall \lambda,\mu\in\mathbb{R}$, $\lambda f+\mu g$ 可积, 且

$$\int_E(\lambda f+\mu g)=\lambda\int_E f+\mu\int_E g$$

若 $f$ 在 $E_1\cup E_2$ 可积, 则 $f$ 在 $E_1$, $E_2$ 可积; $E_1\cap E_2=\empty$ 时,

$$\int_{E_1\cup E_2}f=\int_{E_1}f+\int_{E_2}f$$

3. $\int_E|f|=0$ 当且仅当 $f=0$ a.e.;
   如果 $f\sim g$, 那么 $f$ 可积当且仅当 $g$ 可积, 且此时有 $\int_E f=\int_E g$;
4. 若 $f,g$ 可积且 $f\geq g$, 那么 $\int_Ef\geq\int_Eg$;
5. $f$ 可积, 那么 $|\int_E f|\leq \int_E|f|$;
6. $m(E)<+\infin$, $f$ 有界, 那么 $f$ 可积;
7. $m(E)<+\infin$, $f_k\rightrightarrows f$, $f$ 可积, 那么 $f_k$ 可积, 且 $\int_Ef_k\to \int_Ef$.

定理 (积分的绝对连续性) $f$ 在 $E$ 上可积, 则 $\forall \epsilon>0$, $\exists \delta$, s.t. $\forall E$ 的可测子集 $F$, 当 $m(F)<\delta$ 时, 有

$$\int_F|f|<\epsilon$$

例 设 $m(E)<+\infin$, $f\in\mathcal{MF}(E)$, 且

$$\int_E|f|\log(1+|f|)<+\infin$$

则 $f$ 可积.

例 设 $m(E)<+\infin$, $\int_E u_k^2 e^{u_k^2}\to 0$, 则

$$\int_Ee^{u_k^2}\to m(E)$$

例 设 $m(E)<+\infin$, $f_k\in\mathcal{MF}(E)$, $f_k\to f$ a.e., 设

$$\lim_{k\to+\infin}\int_E|f_k|=\int_E|f|<+\infin$$

则

$$\lim_{k\to+\infin}\int_E|f_k-f|=0$$

定理 设 $f_i\in\mathcal{MF}(E)$, $\sum_{i=1}^{+\infin}|f_i|$ 可积, 则 $\sum_{i=1}^{+\infin}f_i$ 收敛且可积, 且

$$\int_E\sum_{i=1}^{+\infin}f_i=\sum_{i=1}^{+\infin}\int_E f_i$$

例 有

$$\int_{[-1,1]}\sum_{n=1}^{+\infin}\frac{x^n}{n}=\sum_{n=1}^{+\infin}\int_{[-1,1]}\frac{x^n}{n}$$

定理 设 $f_k\in\mathcal{MF}(E)$ 可积, 设 $E=\bigcup_{i=1}^{+\infin}$, $E_i\cap E_j=\empty,\forall i\neq j$, 则

$$\int_E f=\sum_{i=1}^{+\infin}\int_{E_i}f$$

控制收敛定理

定理 设 $f_k\in\mathcal{MF}(E)$, $f_k\to f$ a.e., 设 $\exists$ 可积函数 $F$, s.t. $|f_k|\leq F(x)$, 则

$$\int_E f=\lim_{k\to+\infin}\int_Ef_k$$

注 对上述定理

1. 有

$$\lim_{k\to+\infin}\int_E|f_k-f|=0$$

2. 设 $f(x,\lambda)\in\mathcal{MF}(E)$ 对 $\forall \lambda\in(0,1)$, 且

$$\lim_{\lambda\to0}f(x,\lambda)=f(x),\quad\mathrm{a.e.} x$$

$$|f(x,\lambda)|\leq F(x),\quad \forall \lambda$$

则

$$\int_E\lim_{\lambda\to0}f(x,\lambda)=\lim_{\lambda\to0}\int_E f(x,\lambda)$$

推论 $f_k,f\in\mathcal{MF}^*(E)$, $f_k\overset{m}{\to}f$, 设 $\exists$ 可测函数 $F$, s.t. $|f_k|\leq F(x)$, 则

$$\lim_{k\to+\infin}\int_Ef_k=\int_Ef$$

例 若 $\sum_{i=1}^{+\infin}|f_i|$ 可积, 则

$$\int_E\sum_{i=1}^{+\infin}=\sum_{i=1}^{+\infin}\int_E f_i$$

例 $f$ 在 $E$ 上可积, $E=\bigcup_{i=1}^{+\infin}E_i$, $E_i\cap E_j=\empty$, 则

$$\int_Ef=\sum_{i=1}^{+\infin}\int_{E_i}f$$

例 $f_k\leq f_{k+1}$, 且 $f_1$ 与 $\lim_{k\to+\infin}f_k$ 可积, 则

$$\lim_{k\to+\infin}\int_E f_k=\int_E\lim_{k\to+\infin}f_k$$

例 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积, 设 $\forall c$, $\int_{[a,c]}f=0$, 则 $f=0$ a.e…

例 $m(E)<+\infin$, $f_k\in\mathcal{MF}(E)$, $f_k\to f$ a.e., 设 $p>1$, $\int_E|f_k|^p\leq1$, 则

$$\lim_{k\to+\infin}\int_E f_k=\int_E f$$

例 $m(E)<+\infin$, $f(x,y)$ 是 $E\times(a,b)\to\mathbb{R}$ 的函数. 设 $\forall y$, $f(\cdot,y)$ 在 $E$ 上可积; $\forall x$, $f(x,\cdot)$ 在 $(a,b)$ 上可积且 $|\frac{\partial f}{\partial y}|\leq L$, 则令 $\varphi(y)=\int_E f(x,y) dx$, 则 $\varphi$ 在 $(a,b)$ 上可积.

3. Fubini 定理, Tonelli 定理

祖暅原理

定义 设 $x\in\mathbb{R}^p$, $y\in\mathbb{R}^q$, 定义 $E_x=\{y:(x,y)\in E\}$.

定理 令 $E\in\mathcal{M}(p+q)$, 则

1. 对 a.e. $x\in\mathbb{R}^p$, $E_x$ 在 $\mathbb{R}^q$ 中可测;
2. $\varphi(x)=m(E_x)$ 可以看成 $\mathbb{R}^p$ 上可测函数;
3. $m(E)=\int_{\mathbb{R}^p}m(E_x)dx$.

Tonelli 定理

定理 设 $f(x,y)$ 是 $\mathbb{R}^{p+q}$ 上非负可测函数, 则

1. 对 a.e. $x\in\mathbb{R}^p$, $f(x,\cdot)$ 是 $\mathbb{R}^q$ 上可测函数,
   对 a.e. $y\in\mathbb{R}^q$, $f(\cdot,y)$ 是 $\mathbb{R}^p$ 上可测函数;
2. $\varphi(x)=\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy$ 可以看成 $\mathbb{R}^p$ 上可测函数,
   $\psi(x)=\int_{\mathbb{R}^p}f(x,y)dx$ 可以看成 $\mathbb{R}^q$ 上可测函数,
3. 有

$$\int_{\mathbb{R}^{p+q}}f(x,y)=\int_{\mathbb{R}^p}\left(\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy\right)dx=\int_{\mathbb{R}^q}\left(\int_{\mathbb{R}^p}f(x,y)dx\right)dy$$

Fubini 定理

定理 设 $f(x,y)$ 在 $\mathbb{R}^{p+q}$ 上可积, 则

1. 对 a.e. $x\in\mathbb{R}^p$, $f(x,\cdot)$ 在 $\mathbb{R}^q$ 上可积,
   对 a.e. $y\in\mathbb{R}^q$, $f(\cdot,y)$ 在 $\mathbb{R}^p$ 上可积;
2. $\varphi(x)=\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy$ 在 $\mathbb{R}^p$ 上可积,
   $\psi(x)=\int_{\mathbb{R}^p}f(x,y)dx$ 在 $\mathbb{R}^q$ 上可积,
3. 有

$$\int_{\mathbb{R}^{p+q}}f(x,y)=\int_{\mathbb{R}^p}\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dydx=\int_{\mathbb{R}^q}\int_{\mathbb{R}^p}f(x,y)dxdy$$

例 设 $A\subset\mathbb{R}^p$, $B\subset\mathbb{R}^q$, $m^*(A\times B)>0$, 则

$$A\times B\in\mathcal{M}(p+q)\Leftrightarrow A\in\mathcal{M}(p),B\in\mathcal{M}(q)$$

例 $f(x,y)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上可测, 设对 a.e. $x\in\mathbb{R}$, $f(x,y)=0$, a.e. $y\in\mathbb{R}$, 则 $f(x,y)=0$, a.e. $(x,y)\in\mathbb{R}^2$.

例 (Lebesgue积分的几何意义) 设 $E\in\mathcal{M}(n)$, $f\in\mathcal{MF}(E)$, $f\geq0$. 令 $G_f=\{(x,y):x\in E,0\leq y\leq f(x)\}$, $\Gamma_f=\{(x,y):y=f(x),x\in E\}$, 则 $m(\Gamma_f)=0$, $m(G_f)=\int_E f$.

例 $f\geq 0$, 在 $E$ 上可测, 那么

$$\int_E f=m(G_f)=\int_{(0,+\infin)}m((G_f)_y)dy=\int_{(0,+\infin)}m(\{x:f\geq y\})$$

例 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上可积, $f(0)=0$, $f$ 在 $0$ 可微, 令

$$F(\xi)=\int_\mathbb{R} \frac{f(x)}{1+\xi^2 x^2}dx$$

则 $F$ 在 $\mathbb{R}$ 上可积.

例 $f,g$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上可积, 则 $f,g$ 的卷积

$$f*g(x)=\int_\mathbb{R} f(x-y)g(y)dy=\int_\mathbb{R}f(y)g(x-y)dy$$

在 $\mathbb{R}^n$ 上可积.

4. 可积函数的逼近

定理 $f$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上可积时,

1. 存在光滑紧支简单函数 $\varphi_k$ s.t. $\varphi_k\to f$ a.e., 且 $\int_{\mathbb{R}^n}|\varphi_k-f|\to0$;
2. 存在二进制简单函数 $\varphi_k=\sum_{i=1}^{j_k}a_i\chi_{I_i}(x)$, $I_i$ 为二进制方体, s.t. $\varphi_k\to f$ a.e., 且 $\int_{\mathbb{R}^n}|\varphi_k-f|\to0$;

当 $|f|\leq M$ 时, 可选 $\varphi_k$ s.t. $|\varphi_k|\leq M$.

注 对于上述定理,

0. 记 $\Omega$ 光滑紧支函数的全体为 $\mathcal{D}(\Omega)$;
1. $f$ 在 $E$ 上可积, 可以对 $f\chi_E$ 用上述定理;
2. 当 $\overline{\mathrm{supp}f}\subset U$ 开集, 可以要求 $\overline{\mathrm{supp}\varphi_k}\subset U$.

例 $f$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上可积, 则

$$\lim_{h\to0}\int_{\mathbb{R}^n}|f(x+h)-f(x)|=0$$

例 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中区域, $f$ 在 $\Omega$ 上可积, 设对 $\forall \varphi\in\mathcal{D}(\Omega)$, 有 $\int_\Omega f\varphi=0$, 则 $f=0$ a.e…

例 $f,g$ 在 $(a,b)$ 上可积, 称 $f$ 是 $g$ 的弱导数, 如果对 $\varphi\in\mathcal{D}(a,b)$, 有

$$\int_{(a,b)}f\varphi'=-\int_{(a,b)}g\varphi$$

记为 $g=f'$. 设 $f'=0$, 则 $f=c$ a.e. $x\in(a,b)$.

5. Riemann 积分与 Lebesgue 积分

定理 令 $f$ 是 $[a,b]$ 上有界函数, 则 $f$ Riemann 可积 $\Leftrightarrow$ $f$ a.e. 连续. 此时其 Riemann 积分 $\int_a^b f$ 等于 Lebesgue 积分 $\int_{[a,b]}f$.

定理 令 $\overline{\Omega}$ 是分片光滑的有界闭区域, 当 $f$ Riemann 可积时, 其 Riemann 积分等于 Lebesgue 积分.