复分析期中前梳理

1. 复数与复变函数

定理1.1 设 $U$ 是 $\mathbb{C}$ 中一个开集, 则 $U$ 是区域 $\Leftrightarrow$ $U$ 中任何两点都可以由 $U$ 中折线连接.

2. 全纯函数的导数

定义2.1 设 $f(z)$ 是区域 $D$ 上的复变函数, $a\in D$, 如果

$$\lim_{x\to a}=\frac{f(z)-f(a)}{z-a}=A$$

存在, 则称 $f$ 在 $a$ 可导, 并将极限 $A$ 叫 $f$ 在 $a$ 的导数, 记作 $f'(a)$.
若 $f$ 在 $a$ 的一个领域上处处可导, 则称 $f$ 在 $a$ 处解析或全纯; 如果 $f$ 在 $D$ 上的每点都解析, 则称 $f$ 是 $D$ 上的解析函数或全纯函数.

命题2.1 若 $f(z)$ 在 $a$ 可导, 则 $f(z)$ 在 $a$ 连续.

命题2.2 若 $f(z)$ 在 $z_0$ 可导, $g(w)$ 在 $w_0=f(z_0)$ 可导, 则 $g(f(z))$ 在 $z_0$ 可导且

$$(g\circ f)'(z_0)=g'(f(z_0))f'(z_0)$$

定义2.2 设 $f=u+iv$ 是区域 $D$ 上的函数, $z_0=x_0+iy_0\in D$. 如果 $u,v$ 都在 $(x_0,y_0)$ 可微, 则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 实可微; 记 $\Delta z=z-z_0$, $\Delta f=f(z)-f(z_0)$, 如果存在复数 $A$ 使得

$$\Delta f=A\Delta z+o(\Delta z),\quad \Delta z\to 0$$

则称 $f$ 在 $z_0$ 复可微.

命题2.3 $f=u+iv$ 在 $z_0$ 复可微的充要条件是 $u$ 和 $v$ 都在 $z_0$ 可微并满足 Cauchy-Riemann 条件

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

注 形式微商: $f(z)=f(x,y)=f(\frac{z+\bar{z}}{2},\frac{z-\bar{z}}{2i})$, 有偏微商

$$\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}),\quad \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})$$

命题2.4 若 $f(z)$ 在 $z_0$ 实可微, 则在 $z_0$ 有

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=\frac{\partial f}{\partial z}dz+\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}d\bar{z}$$

命题2.5 $f(z)$ 在 $z_0$ 满足 Cauchy-Riemann 方程 $\Leftrightarrow$ 在 $z_0$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$.

定义2.3 设 $D$ 是一个区域, $u(x,y)\in C^2(D)$. 如果 $u$ 在 $D$ 上满足 Laplace 方程

$$\Delta u(x,y)=\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial y^2}=0$$

则称 $u$ 是 $D$ 上的调和函数.

命题2.6 $\Delta u=4\frac{\partial^2 u}{\partial z\partial \bar{z}}$.

定理2.1 设 $f=u+iv$ 是区域 $D$ 上的解析函数, 则 $u$ 和 $v$ 都是 $D$ 上的调和函数.

定义2.4 设 $u,v$ 是区域 $D$ 上的一对调和函数, 如果 $u+iv$ 是 $D$ 上的解析函数, 则把 $v$ 叫做 $u$ 的共轭调和函数.

定理2.2 单连通区域上的调和函数必有共轭调和函数.

3. 导数的几何意义

命题3.1 设 $f$ 在 $z_0$ 实可微, $df\neq 0$, 则 $f(z)$ 在 $z_0$ 保向保角的充要条件是 $f(z)$ 在 $z_0$ 复可微.

定义3.1 称 $f$ 是 $D$ 上的单叶解析函数或共形映射, 若 $\forall z_1,z_2\in D$, 当 $z_1\neq z_2$ 时, $f(z_1)\neq f(z_2)$.

4. 初等全纯函数

命题4.1 $e^z\in H(\mathbb{C})$; 若区域 $D$ 满足 $\forall z\in D$, $\forall k\in \mathbb{Z}\neq 0$, $z+2k\pi i\notin D$, 则 $D$ 是 $e^z$ 的单叶性区域.

定义4.1 $z=e^w$ 的反函数叫对数函数, 记为 $w=Log z,z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. 有

$$w=Log z=\log|z|+iArg z,\quad \forall z\in\mathbb{C}^*$$

是一个多值函数

引理4.1 $Arg z$ 在不包含 $0$ 的单连通区域上有单值连续分支.

定理4.1 $Log z$ 在不包含 $0$ 的单连通区域上有单值解析分支.

定义4.2 幂函数 $z^a=e^{a Log z}$, $z\in\mathbb{C}^*$ 是一个多值函数, 在不包含 $0$ 的单连通区域上有单值解析分支.

定义4.3 三角函数 $\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$, $\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$, 都是无界函数.

5. 多值函数 $f(z)=\sqrt[k_0]{(z-a_1)^{k_1}\cdots (z-a_n)^{k_n}}$

定理5.1 多值函数 $f(z)=\sqrt[k_0]{(z-a_1)^{k_1}\cdots (z-a_n)^{k_n}}$, $D$ 是一个不包含 $a_1,\cdots,a_n$ 的区域, 则多值函数 $f(z)$ 在 $D$ 上有单值解析分支的充分条件是对 $D$ 中任意闭曲线 $\gamma$, 记$A(z)=k_1 Arg(z-a_1)+\cdots+k_n Arg(z-a_n)$, 有 $\Delta_\gamma A(z)$ 为 $2k_0\pi$ 的倍数.

6. 分式线性变换

定义6.1 形如 $Tz=\frac{az+b}{cz+d}$, $z\in\bar{\mathbb{C}}$, $ad-bc\neq 0$的复变函数叫分式线性变换或 Mobius 变换.

命题6.1 任何分式线性变换都是 $\bar{\mathbb{C}}$ 上保角保向的同胚变换.

定理6.1 分式线性变化把圆周映为圆周.

命题6.2 分式线性变换至多有两个不动点, 除非它是恒等映射.

定理6.2 设 $z_1,z_2,z_3$ 是互不相同的三点, $w_1,w_2,w_3$ 也是互不相同的三个点, 则存在唯一分式线性变换把 $z_1,z_2,z_3$ 分别映为 $w_1,w_2,w_3$.

定义6.2 称互不相同四点 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 的交比为

$$(z_1,z_2,z_3,z_4)=\frac{z_1-z_3}{z_1-z_4}\frac{z_2-z_4}{z_2-z_3}$$

定理6.3 分式线性变换保交比不变, 即对任意分式线性变换 $T$, 对任意互不相同四点 $z_1,z_2,z_3,z_4$, $(Tz_1,Tz_2,Tz_3,Tz_4)=(z_1,z_2,z_3,z_4)$.

定理6.4 如果四元函数 $f(z_1,z_2,z_3,z_4)$ 在分式线性变换下不变, 即 $f(Tz_1,Tz_2,Tz_3,Tz_4)=f(z_1,z_2,z_3,z_4)$, 则 $f(z_1,z_2,z_3,z_4)$ 是交比 $(z_1,z_2,z_3,z_4)$ 的函数.

命题6.3 $\bar{\mathbb{C}}$ 中互不相同四点 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 共圆的充要条件是 $Im (z_1,z_2,z_3,z_4) =0$.

命题6.4 设 $\gamma$ 是 $\bar{\mathbb{C}}$ 中的定向圆周, $z_1,z_2,z_3$ 是 $\gamma$ 上按 $\gamma$ 的方向排列的三点, 记 $\gamma$ 的左侧区域为 $G_左$, 右侧区域为 $G_右$, 则 $z\in G_左 \Leftrightarrow Im (z_1,z_2,z_3,z_4) <0$, $z\in G_右 \Leftrightarrow Im (z_1,z_2,z_3,z_4) >0$

定理6.5 设分式线性变换 $T$ 把定向圆周 $\gamma_1$ 映为定向圆周 $\gamma_2$, 则 $T$ 把 $\gamma_1$ 的左边区域映为 $\gamma_2$ 的左边区域, 右边区域映为右边区域.

定义6.3 设 $C$ 是圆周 $|z-a|=R$, $z_0$, $z_0^*$是不在 $C$ 上的两个点. 如果存在一个分式线性变换 $T$ 把 $C$ 变成直线 $L$, 把 $z_0$ 和 $z_0^*$ 变成 $L$ 的对称点, 则称 $z_0$ 和 $z_0^*$ 关于 $C$ 对称.

定理6.6 分式线性变换保圆周的对称点, 即若 $A,A^*$ 关于圆周 $C$ 对称, 则对任意一个分式线性变换 $T$, $TA$ 和 $TA^*$ 关于 $TC$ 对称.

命题6.5 $A$ 和 $A^*$ 关于圆周 $C:|z-a|=R$ 对称的充要条件是 $(A-a)(\bar{A^*}-\bar{a})=R^2$.

命题6.6 $A$ 和 $A^*$ 关于圆周 $C$ 对称的充要条件是对 $C$ 上任意互不相同三点 $z_1,z_2,z_3$, $(A,z_1,z_2,z_3)=\overline{(A^*,z_1,z_2,z_3)}$.

7. 复变函数的积分

定义7.1 设 $\gamma:z=z(t),t\in[a,b]$ 是一条可求长曲线, $f=u+iv$ 是定义在 $\gamma$ 上的复变函数, 则 $f$ 沿曲线 $\gamma$ 的积分定义为

$$\int_\gamma f(z)dz=\int_\gamma (udx-vdy)+i\int_\gamma (vdx+udy)$$

性质7.1 长大不等式

$$\left|\int_\gamma f(z)dz \right|\leq \int_\gamma |f(z)||dz|=\int_\gamma |f(z)|ds$$

命题7.1 当 $\gamma$ 可求长, $f(z)$ 在 $\gamma$ 上连续时, $f$ 在 $\gamma$ 上可积.

命题7.2 当 $\gamma$ 光滑且 $f$ 在 $\gamma$ 上连续时有

$$\int_\gamma f(z)dz=\int_a^b f(z(t))z'(t)dt$$

性质7.2 若 $\omega$ 是恰当 $C^1$ 微分形式, $du=\omega$, 则 $\omega$ 在任何路径 $\gamma$ 上的积分与路径无关, 等于 $u$ 在 $\gamma$ 的终点和起点之差.

命题7.3 设 $f(z)=u+iv$ 是区域上的实可微连续函数, 则

$$f(z)dz=udx-vdy+i(vdx+udy)$$

是恰当微分的充要条件是存在解析函数 $F(z)$ 使得 $F'(z)=f(z)$.

命题7.4 设 $\gamma$ 是可求长曲线, 长度等于 $L$, $f(z)$ 在 $\gamma$ 上可积且 $f(z)$ 在 $\gamma$ 上有上界 $M$, 则 $|\int_\gamma f(z)dz|\leq ML$.

8. Cauchy 积分定理与解析函数的原函数

定理8.1 Cauchy 积分定理 设 $f$ 在单连通区域 $D$ 上解析, 则对 $D$ 内任意可求长闭曲线 $\gamma$, 有

$$\int_\gamma f(z)dz=0$$

定理8.2 Goursat 设 $f(z)$ 在三角形 $\Delta$ 的闭包上解析, 则

$$\int_{\partial\Delta} f(z)dz=0$$

定理8.3 Cauchy-Goursat 设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 上解析, 则对 $D$ 内任一闭折线 $\gamma$,

$$\int_\gamma f(z)dz=0$$

定理8.4 Cauchy 积分定理的一般形式 设区域 $D$ 是由有限条互不相交的可求长 Jordan 曲线 $C_1,\cdots,C_n$ 围成的有界区域, $f$ 在 $\bar{D}$ 上解析, 则

$$\int_{\partial D} f(z)dz=\int_{C_1+\cdots+C_n} f(z)dz=0$$

定理8.5 设 $f(z)$ 在区域 $D$ 上连续, 则下面三个条件等价:

1. $f$ 在 $D$ 上有原函数;
2. $f(z)$ 在 $D$ 中任何可求长闭曲线上的积分等于 $0$;
3. $f(z)$ 在 $D$ 中任何曲线上的积分与路径无关.

定理8.6 设 $D$ 是单连通区域, $f$ 是 $D$ 上的解析函数, 则 $f(z)$ 在 $D$ 上有原函数.

9. Cauchy 积分公式及其重要推论

定理9.1 Cauchy 积分公式的简单形式 设 $D$ 是 $\mathbb{C}$ 中可求长 Jordan 曲线所围区域, $f\in H(\bar{D})$, 则

$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta,\quad \forall z\in D$$

定理9.2 Cauchy 积分公式的一般形式 设 $D\subset \mathbb{C}$ 是有限条互不相交的可求长 Jordan 曲线围出的有界区域, $f$ 在 $\bar{D}$ 上解析, 则 $f$ 在 $D$ 上可表示为

$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta,\quad \forall z\in D$$

定理9.3 设 $\Gamma$ 是 $\mathbb{C}$ 中可求长曲线, $f\in C(\Gamma)$. Cauchy 型积分

$$F_\Gamma(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta,\quad \forall z\in\mathbb{C}\setminus \Gamma$$

的各阶导数均存在且

$$F_\Gamma^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_\Gamma \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta,\quad \forall z\in\mathbb{C}\setminus \Gamma$$

定理9.4 若 $f\in H(D)$, 则 $f'\in H(D)$.

定理9.5 Cauchy 不等式 设 $f(z)$ 在圆盘 $|z-a|<R$ 内解析且 $|f(z)|$ 有上界 $M$, 则

$$|f^{(n)}(a)|\leq\frac{n!M}{R^n}$$

定理9.6 Liouville 设 $f(z)$ 在 $\mathbb{C}$ 上解析且有界, 则 $f(z)$在 $\mathbb{C}$ 上恒等于常数.

定理9.7 代数基本定理 设 $P(z)$ 是 $\mathbb{C}$ 上的非常值多项式, 则它必有零点.

定理9.8 Morera 设 $f(z)$ 在区域 $D$ 上连续, 且在任何可求长闭曲线上的积分等于 $0$, 则 $f(z)$ 在 $D$ 上解析.

定理9.9 解析函数满足平均值性质, 即若 $f$ 在区域 $D$ 解析, 则对任意 $B(a,\delta)\subset D$,

$$f(a)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a+re^{i\theta})d\theta,\quad \forall r\in(0,\delta)$$

10. Weierstrass 定理和幂级数

定理10.1 设 $\sum_{n=1}^\infin f_n(z)$ 在可求长曲线 $\gamma$ 上一致收敛到 $f(z)$, $z\in\gamma$, 如果每个 $f_n(z)\in C(\gamma)$, 则 $f$ 在 $\gamma$ 上连续, 且可以逐项积分:

$$\int_\gamma f(z)dz=\sum_{n=1}^\infin \int_\gamma f_n(z)dz$$

定义10.1 如果级数 $\sum_{n=1}^\infin f_n(z)$ 在区域 $D$ 上的任一紧子集上一致收敛, 则称它在 $D$ 上内闭一致收敛.

引理10.1 $\sum_{n=1}^\infin f_n(z)$ 在域 $D$ 上内闭一致收敛的充要条件是 $\forall z\in D$, $\forall \delta>0$, 只要 $\overline{B(z,\delta)}\subset D$, 级数就在 $\overline{B(z,\delta)}$ 一致收敛.

定理10.2 Weierstrass 设 $D$ 是 $\mathbb{C}$ 中的域, 若 $f_n\in H(D)$ 且 $\sum_{n=1}^\infin f_n(z)$ 在 $D$ 上内闭一致收敛到 $f(z)$, 则 $f\in H(D)$ 且 $\forall k\in\mathbb{N}$, $\sum_{n=1}^\infin f_n^{(k)}(z)$ 内闭一致收敛到 $f^{(k)}$.

定理10.3 Abel 对于幂级数 $\sum_{n=0}^\infin a_nz^n$,

1. 若幂级数在 $z_0\neq 0$ 收敛, 则它在圆盘 $|z|<|z_0|$ 上绝对内闭一致收敛;
2. 若幂级数在 $z_1$ 发散, 则它在区域 $|z|>|z_1|$ 上绝处处发散.

定理10.4 幂级数 $\sum_{n=0}^\infin a_nz^n$ 的收敛半径是

$$R=(\varlimsup_{n\to\infin}\sqrt[n]{|c_n|})^{-1}$$

11. 全纯函数的 Taylor 级数

定理11.1 Taylor 展开定理 设 $f$ 在 $B(a,R)$ 解析, 则 $f$ 可以表示成 $B(a,R)$ 上的 Taylor 级数

$$f(z)=\sum_{j=1}^\infin \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a),\quad \forall z\in B(a,R)$$

定理11.2 $f$ 在 $z_0$ 解析的充要条件是: 存在一个正数 $R$, 使得在圆盘 $|z-z_0|<R$ 上

$$f(z)=\sum_{n=0}^\infin c_n(z-z_0)^n$$

性质11.1 实解析函数是复解析函数在实数轴上的限制.

定义11.1 若 $f$ 在 $z_0$ 解析, 存在正自然数 $m$ 使得 $f(z_0)=f'(z_0)=\cdots=f^{(m-1)}(z_0)=0$ 但 $f^{(m)}(z_0)\neq 0$, 把 $z_0$ 叫做 $f$ 的 $m$ 重零点, $n=1$ 时称单零点.

命题11.1 解析函数 $f$ 以 $z_0$ 为 $m$ 重零点的充要条件是: 存在在 $z_0$ 解析的函数 $g(z)$ 使得 $g(z_0)\neq 0$ 且 $f(z)=(z-z_0)^mg(z)$ 在 $z_0$ 附近成立.

命题11.2 设 $f$ 在区域 $D$ 上解析, $a\in D$, 设 $f^{(m)}(a)=0$, $a=1,2,\cdots$, 则 $f$ 在 $D$ 上恒等于 $f(a)$.

命题11.3 设 $f$ 是区域 $D$ 上的非常值解析函数, 则 $f$ 在 $D$ 内只能有孤立零点, 即对于 $f$ 在 $D$ 内的任何零点 $a$, 存在 $\delta>0$, 使得 $a$ 是 $f$ 在 $B(a,\delta)$ 内的唯一零点.

定理11.3 解析函数的唯一性定理 设 $f$ 和 $g$ 是区域 $D$ 上的解析函数, $a\in D$, $\{a_n\}$ 是 $D-\{a\}$ 中一个点列并且 $\lim_{n\to\infin}a_n=a$. 如果 $f(a_n)=g(a_n)$, $n=1,2,\cdots$, 则 $f(z)\equiv g(z)$, $\forall z\in D$.

12. 辐角原理

定理12.1 设 $D$ 是一条可求长 Jordan 曲线所围成的有界域, $f\in H(\bar{D})$, 如果 $f$ 在 $D$ 上有零点 $a_1,\cdots,a_n$, 相应重数分别为 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$, 设 $f$ 在 $\partial D$ 上没有零点, 则

$$\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f'(z)}{f(z)}dz=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$$

定理12.2 设区域 $D$ 由可求长简单曲线围成, $f\in H(\bar{D})$, $f$ 在 $\partial D$ 上没有零点, 则 $f$ 在 $D$ 内的零点个数等于 $(2\pi)^{-1}\Delta_{\partial D}Arg f(z)$.

定理12.3 Rouché 设 $D$ 是可求长 Jordan 曲线所围有界区域, $f,g\in H(\bar{D})$, 如果 $|g(z)|<|f(z)|$, $z\in\partial D$, 则 $f(z)\pm g(z)$ 与 $f(z)$ 在 $D$ 由相同的零点个数.

定理12.4 设 $f$ 在 $z_0$ 解析, 且对于 $w_0=f(z_0)$, $z_0$ 是 $f(z)-w_0$ 的 $m$ 重零点, 那么对充分小 $\delta>0$, 存在 $\rho>0$, s.t. 对任意 $w_1\in B(w_0,\rho)\setminus\{w_0\}$, $f(z)-w_1$ 在 $B(z_0,\delta)\setminus\{z_0\}$ 中恰有 $m$ 个互不相同的单零点.

定理12.5 设 $f$ 是域 $D$ 上的非常值解析函数, 则 $\forall z_0\in D$, 对充分小 $\delta>0$, 都存在 $\rho>0$, s.t. $f(B(z_0,\delta))\supset B(f(z_0),\rho)$.

定理12.6 开映射定理 设 $f$ 是域 $D$ 中的非常值全纯函数, 则 $f$ 是开映射, 即 $f$ 把 $D$ 中开子集映成 $\mathbb{C}$ 中开集.

定理12.7 单叶解析函数的导函数处处不取零值.

定理12.8 设 $f\in H(D)$ 且对 $z_0\in D$, $f'(z_0)\neq 0$, 则对充分小 $\delta>0$, $f(z)$ 在 $B(z_0,\delta)$ 上单叶.

定理12.9 设 $f$ 是域 $D$ 上的单叶解析函数, 则它的反函数是域 $f(D)$ 上的解析函数, 并且

$$(f^{-1}(f(z)))'=\frac{1}{f'(z)},\quad z\in D$$

定理12.10 Hurwitz 设 $\{f_n\}$ 是域 $D$ 上内闭一致收敛于 $f(z)$ 的解析函数列, $\gamma$ 是 $D$ 上的可求长 Jordan 曲线, 其内部属于 $D$, 且 $f(z)\neq 0$, $z\in\gamma$, 则对于充分大的 $n$, 每个 $f_n$ 在 $\gamma$ 内部有相同的零点个数.

定理12.11 设 $\{f_n\}$ 是 $D$ 上一列单叶解析函数, 且在 $D$ 上内闭一致收敛于 $f(z)$, $z\in D$, 则要么 $f$ 是单叶函数, 要么 $f(z)\equiv$ 常数.

13. 最大模原理与 Schwarz 引理

定理13.1 区域上非常值解析函数的模没有极大值. 另一表述是, 设 $f$ 是有界区域 $D$ 上的非常值解析函数, 若 $f$ 在 $\bar{D}$ 上连续, 则 $|f|$ 在 $\partial D$ 达到最大值, 且最大值只能在 $\partial D$ 取到.

定理13.2 区域上非常值调和函数的达不到极大极小值. 另一表述是, 设 $u$ 是有界区域 $D$ 上的非常值调和函数, 若 $u$ 在 $\bar{D}$ 上连续, 则 $u$ 在 $\partial D$ 达到最大值和最小值, 且只能在 $\partial D$ 取到.

定理13.3 Schwarz引理 设 $f$ 在 $B(0,1)$ 解析, $f(0)=0$, $f(B(0,1))\subset B(0,1)$, 则 $|f'(0)|\leq 1$ 且 $|f(z)|\leq|z|$, $\forall z\in B(0,1)$. 如果 $|f'(0)|=1$ 或 $|f(z_0)|=|z_0|$ 在一点 $z_0\in B(0,1)\setminus \{0\}$ 成立, 则存在实常数 $\alpha$, 使得 $f(z)=e^{i\alpha}z$.

推论13.1 设 $f$ 是从 $B(0,1)$ 到自身的双全纯映射, $f(0)=0$, 则存在实常数 $\alpha$ 使得 $f(z)=e^{i\alpha}z$.

定义13.1 从 $B(0,1)$ 到自身的双全纯映射叫 $B(0,1)$ 的双全纯自同构.

命题13.1 从 $B(0,1)$ 到自身的双全纯自同构都可以表示为

$$f(z)=e^{i\theta}\frac{z-a}{1-\bar{a}z}$$

定理13.4 Schwarz-Pick 引理 设 $f:B(0,1)\to B(0,1)$是解析映射, $a\in B(0,1)$, 则

1. 对任意 $z\in B(0,1)$,

$$\left|\frac{f(z)-f(a)}{1-\overline{f(a)}f(z)}\right|\leq\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|$$

2. 有

$$|f'(a)|\leq\left|\frac{1-|f(a)|^2}{1-|a|^2}\right|$$

若 1 中等号在某 $z_0\neq a$ 成立, 或 2 中等号成立, 则 $f$ 是分式线性变换

$$f(z)=e^{i\theta}\frac{z-A}{1-\bar{A}z}$$

定理13.5 Hadamard 三圆定理 设 $f(z)$ 是环域 $A(R_1,R_2)$ 上的非常值解析函数, 令

$$M(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|,\quad \forall r\in (R_1,R_2)$$

则 $\log M(r)$ 是 $\log r$ 的凸函数, 即对任意的 $R_1<r_1<r_2<R_2$,

$$\log M(r)\leq \log M(r_1)+\frac{\log M(r_2)-\log M(r_1)}{\log r_2-\log r_1}(\log r-\log r_1),\quad \forall r\in(r_1,r_2)$$

14. 环域上的全纯函数的 Laurent 展开

定义14.1 级数 $\sum_{n=-\infin}^\infin c_n(z-a)^n$ 叫做在 $a$ 点的 Laurent 级数, 其中 $\sum_{n=-\infin}^{-1} c_n(z-a)^n$ 叫做主要部分, $\sum_{n=0}^\infin c_n(z-a)^n$ 叫做正则部分.

定理14.1 记 $w=\frac{1}{z}$, 设 $\sum_{n=1}^\infin c_{-n}w^n$ 的收敛半径为 $\frac{1}{r}$, $\sum_{n=0}^\infin c_{n}z^n$ 的收敛半径为 $R$ 且 $r<R$, 则 Laurent 级数 $\sum_{n=-\infin}^\infin c_n z^n$ 在环域 $A(r,R)$ 上内闭一致收敛于 $A(r,R)$ 上的一个解析函数 $f(z)$, 且对 $A(r,R)$ 内任一可求长曲线 $\gamma$,

$$\int_\gamma f(z)dz=\sum_{n=-\infin}^\infin \int_\gamma c_n(z-a)^ndz$$

定理14.2 若 $f$ 在 $A(r,R)$ 上全纯, 则 $f$ 可展成 Laurent 级数

$$f(z)=\sum_{n=-\infin}^\infin c_n z^n,\quad z\in A(r,R)$$

这个展式是唯一的, 其中

$$c_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta|=\rho}\frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}}d\zeta,\quad \rho\in(r,R)$$