测度与积分笔记-第五章

Chapter 5. $L^p$ 空间

0. 引言

定义 令 $X$ 是集合, $d$ 是 $X\times X$ 上非负函数, 称 $d$ 是 $X$ 上距离函数, 若 $\forall x,y,z\in X$,

1. $d(x,x)=0$;
2. $d(x,y)=d(y,x)$;
3. $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$.

进一步地可以定义球 $B_r(x)=\{y\in X:d(x,y)<r\}$.

例 $\mathbb{R}^n$ 中, 可以取

$$d(x,y):=|x-y|$$

$$d'(x,y):=\max\{|x_i-y_i|:i=1,\cdots,n\}$$

例 $X$ 是集合, $\mathcal{A}=\{f\in\mathcal{F}_{\mathbb{R}}(X):\sup_X|f|<+\infin\}$, 取

$$d(f,g)=\sup_X|f-g|$$

定义 设 $E\subset X$,

1. 内点: $x$ 是 $E$ 内点 $\Leftrightarrow$ $\exists r>0$, s.t. $B_r(x)\subset E$;
2. 边界点: 非内点, $\Leftrightarrow$ $\forall r>0$, $B_r(x)\cap E\neq \empty$, $B_r(x)\cap E^c \neq\empty$;
3. 开集: 所有点是内点;
4. 闭集: 开集的补集.

定义 令 $x_k\in X$, $x\in X$, 称 $x$ 是 $x_k$ 的极限, 如果

$$\lim_{k\to+\infin}d(x_k,x)=0$$

记为 $x_k\to x$ 或 $\lim_{k\to+\infin}x_k=x$.

引理 极限如果存在, 那么唯一.

定义 极限点: $x$ 是极限点 $\Leftrightarrow$ $\exists x_k\in E$, s.t. $x_k\to x$;
闭包: $\bar{E}=E\cup\{$ 极限点 $\}$;
闭集: $E$ 是闭集 $\Leftrightarrow$ $E\supset E$ 的极限点 $\Leftrightarrow$ $E=\bar{E}$.

例 设 $E$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上紧集, $C(E)$ 为 $E$ 上连续函数, 定义 $d(u,v)=\max_E|u-v|$, 那么 $u_k\to u$ $\Leftrightarrow$ $u_k\rightrightarrows u$.

定义 令 $x_k\in X$, 称 $\{x_k\}$ 是 Cauchy 列, 如果

$$\lim_{(k,m)\to +\infin}d(x_k,x_m)=0$$

称 $(X,d)$ 是完备的, 如果任一 Cauchy 列有极限.

例 $X=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, $d(x,y)=|x-y|, \forall x,y\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$, 那么 $x_k=\frac{1}{k}$ 是 Cauchy 列但没有极限, $(X,d)$ 不完备.

例 $\mathbb{Q}$ 不完备.

例 $C([a,b])$ 上定义 $d(u,v)=\int_a^b|u-v|$, 不完备.

例 $E$ 紧集, $C(E)$ 上定义 $d(u,v)=\max_E |u-v|$, 那么 $(C(E),d)$ 完备.

定义 令 $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ 是 $\mathbb{R}$ 上欧式空间, $\langle\cdot,\cdot\rangle:H\times H\to\mathbb{R}$ 满足:

1. $\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle$;
2. $\langle \lambda_1 u_1+\lambda_2u_2,v\rangle=\lambda_1 \langle u_1,v\rangle+\lambda_2 \langle u_2,v\rangle$;
3. $\langle u,u\rangle\geq0$, 且等号成立 $\Leftrightarrow$ $u=0$.

定义 $d(u,v)=\sqrt{\langle u-v,u-v\rangle}$ 为 $H$ 上距离, 若 $(H,d)$ 完备, 称欧氏空间 $(H,\langle,\rangle)$ 是 Hilbert 空间.

例 $C([a,b])$ 上定义 $\langle u,v\rangle=\int_a^b uv$, $(C([a,b]),\langle,\rangle)$ 不是 Hilbert 空间.

例 $l^2=\{(x_1,x_2,\cdots):x_i\in\mathbb{R},\sum_{i=1}^{+\infin}x_i^2<+\infin\}$, $\langle(x_1,x_2,\cdots),(y_1,y_2,\cdots)\rangle=\sum_{i=1}^{+\infin}x_iy_i$, 那么 $(l^2,\langle,\rangle)$ 是 Hilbert 空间.

定义 $X$ 是 $\mathbb{R}$ 上线性空间, $||\cdot||$ 是 $X\to[0,+\infin)$ 映射, 称 $||\cdot||$ 是 $X$ 上的模, 如果

1. $||\lambda u||=|\lambda| ||u||$;
2. $||u+v||\leq||u||+||v||$;
3. $||u||=0$ $\Leftrightarrow$ $u=0$.

此时 $d(u,v)=||u-v||$ 是 $X$ 上距离.

定义 令 $X$ 是线性空间, $||\cdot||$ 是模, 称 $(X,||\cdot||)$ 是 Banach 空间, 如果 $d(u,v)=||u-v||$ 是完备的.

例 令 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上开集, 对 $u\in C(\Omega)$, 定义

$$||u||_{C^0(\Omega)}=\sup_{\Omega}|u|$$

令

$$C^0(\Omega)=\{u\in C(\Omega):||u||_{C^0(\Omega)}<+\infin\}$$

那么 $(C^0(\Omega),||\cdot||_{C^0(\Omega)})$ 是 Banach 空间.

例 令 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上开集, 对 $u\in C(\Omega)$ 可微且 $\nabla u$ 连续, 定义

$$||u||_{C^1(\Omega)}=\sup_{\Omega}|u|+\sup_{\Omega}|\nabla u|=||u||_{C^0(\Omega)}+||\nabla u||_{C^0(\Omega)}$$

令

$$C^1(\Omega)=\{u,\nabla u\in C(\Omega):||u||_{C^1(\Omega)}<+\infin\}$$

那么 $(C^1(\Omega),||\cdot||_{C^1(\Omega)})$ 是 Banach 空间.

1. $L^p$-模

定义 设 $E\in M(n)$, $f\in\mathcal{MF}(E)$, $p\geq 1$,
$p\in[1,+\infin)$, 定义 $||f||_{L^p(E)}=(\int_E|f|^p)^{\frac{1}{p}}$;
$p=+\infin$, 定义 $||f||_{L^p(E)}=\inf\{\lambda:|f|\leq\lambda \;a.e.\}=\sup\{\lambda:m(\{|f|\geq\lambda\})>0\}$.

引理 对于 $L^\infin$:

1. $||f||_{L^\infin}\leq A$ $\Leftrightarrow$ $|f|\leq A$ a.e. $x$ ($\leq$ 可换为 $<$); 进而的 $|f|\leq||f||_{L^\infin}$ a.e.;
2. $||f||_{L^\infin}>A$ $\Leftrightarrow$ $m(\{x:|f|>A\})>0$.

注 $||f||_{L^\infin}\geq A$ 不能得出 $m(x:|f|\geq A)>0$.

例 $U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中开集, $f\in C(U)$, $||f||_{L^\infin(U)}=||f||_{C^0(U)}=\sup_U|f|$.

例 $f=\frac{1}{x},x\in(0,1)$, 那么 $||f||_{L^\infin((0,1))}=+\infin$.

例 $m(E)<+\infin$, $f\in\mathcal{MF}(E)$, 则

$$\lim_{p\to+\infin}||f||_{L^p(E)}=||f||_{L^\infin(E)}$$

定义 对 $\forall p\in[1,+\infin]$, 定义

$$L^p(E)=\{f\in\mathcal{MF}^*(E)/ \sim:||f||_{L^p(E)}<+\infin\}$$

定理 (Hölder 不等式) $f,g$ 在 $E$ 上 a.e. 有限, $p\in(1,+\infin)$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$,

1. 当 $f,g$ 非负可测, 有

$$\int_E fg\leq||f||_{L^p(E)}||g||_{L^q(E)}$$

2. $f\in L^p(E)$, $g\in L^q(E)$, 那么 $fg\in L^1(E)$ 且

$$||fg||_{L^1(E)}\leq||f||_{L^p(E)}||g||_{L^q(E)}$$

注 当 $f_1\in L^{p_1}(E),\cdots,f_n\in L^{p_n}(E)$, 且 $p_i\in(1,+\infin)$, $\sum_{i=1}^k \frac{1}{p_i}=1$, 则 $f_1f_2\cdots f_k\in L^1(E)$, 且

$$||f_1f_2\cdots f_k||_{L^1(E)}\leq\prod_{i=1}^k ||f_i||_{L^{p_i}(E)}$$

命题 当 $m(E)<+\infin$, $\forall p,p'\in[1,+\infin]$, $p<p'$ 时有 $L^{p'}(E)\subset L^{p}(E)$.

例 设 $f,g\in L^p(E)$, 则 $|f|^{p-1}|g|\in L^p(E)$.

例 设 $f\in L^p(D)$, $D$ 是二维圆盘, $p>2$, 记

$$\varphi(r)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(r\cos\theta,r\sin\theta)d\theta$$

则 $\varphi\in L^1((0,1))$.

定理 令 $p\in[1,+\infin]$,

1. 当 $f,g$ 非负可测时,

$$||f+g||_{L^p(E)}\leq||f||_{L^p(E)}+||g||_{L^p(E)}$$

2. $f,g\in L^p(E)$, 则 $f+g\in L^p(E)$ 且

$$||f+g||_{L^p(E)}\leq||f||_{L^p(E)}+||g||_{L^p(E)}$$

定理 令 $p\in[1,+\infin]$, 则 $L^p(E)$ 是线性空间, $||\cdot||_{L^p(E)}$ 是 $L^p(E)$ 上模.

2. $L^p$ 收敛

定义 $p\in[1,+\infin]$, $f,f_k\in L^p(E)$, 当 $||f_k-f||_{L^p(E)}\to0$ 时, 称 $f_k$ 在 $L^p(E)$ 中收敛到 $f$, 记为 $f_k\overset{L^p(E)}{\to}f$.

引理 设 $f_k,f\in L^\infin(E)$, 则 $f_k\overset{L^\infin(E)}{\to}f$ $\Leftrightarrow$ $\exists F\subset E$, s.t. $m(F)=0$, 且 $f_k\overset{E\setminus F}{\rightrightarrows} f$.

注 $L^p$ 收敛 $\Rightarrow$ 依测度收敛.

定理 设 $m(E)<+\infin$, $f_k\in L^1(E)$, 设 $f_k\to f$ a.e., 则 $f_k\overset{L_1}{\to} f$ $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0$, $\exists \delta>0,M>0$, s.t. $\forall k\geq M$ 和 $F\subset E$, 当 $m(F)<\delta$ 时, $\int_F|f_k|<\epsilon$.

推论 设 $m(E)<+\infin$, $1\leq p<p'<+\infin$, 设 $f_k\to f$ a.e., 且 $||f_k||_{L^{p'}(E)}<\Lambda$, 则 $||f_k-f||_{L^p(E)}\to0$.

推论 设 $f_k\overset{m,E}{\to}f$, $f_k\in L^1(E)$, 且 $\forall \epsilon>0$, $\exists M,\delta>0$, s.t. $k>M,m(F)<\delta$ 时, 有 $\int_F|f_k|<\epsilon$.

定理 $(L^p(E),||\cdot||_{L^p(E)})$ 是 Banach 空间.

可分性, 稠密性

定义 $(X,d)$ 是距离空间, $E\subset X$, 称 $E$ 是稠密集, 如果 $\bar{E}=X$; 如果 $X$ 有一个至多可列稠密集, 称 $X$ 可分.

例 $\bar{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$, $\mathbb{R}$可分.

引理 $(X,d)$ 是距离空间, 若 $A\subset B\subset X$, 则 $\bar{A}\subset\bar{B}$; 进而, 如果 $A\subset B\subset X$, 且 $\bar{A}=X$, 那么 $B$ 稠密.

定理 $\mathcal{A}=\{\sum_{i=1}^j a_i\chi_{U_i}:U_i$ 有界开集 $\}$, $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 在 $L^p(\mathbb{R}^n)$ , $p\in[1,+\infin)$ 稠密. 即 $\forall f\in L^p(\mathbb{R}^n)$, $\exists \varphi_k\in \mathcal{A}$ (或 $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$), s.t. $||f-\varphi_k||_{L^p(\mathbb{R}^n)}\to 0$. 当 $supp f\subset$ 开集 $U$ 时, 可取 $\varphi_k$ s.t. $\overline{supp\varphi_k}\subset U$.

推论 令 $E\subset\mathcal{M}(n)$, 则对 $p\in [1,+\infin)$, $L^p(E)$ 是可分的.

推论 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$, 则

$$\lim_{h\to0}||f(x+h)-f(x)||_{L^p(\mathbb{R}^n)}=0$$

*3. 磨光变换

定义 设 $U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中开集, 记 $U_1\subset\subset U$ 若 $\bar{U}_1\subset U$ 且 $\bar{U}_1$ 有界. 记 $L^1_{loc}(U)=\{f:f$ 在 $\forall U_1\subset\subset U$ 上可积 $\}/\sim$; $L^1_{loc}(\mathbb{R})=\{f:f$ 在 $\forall B_r(0)$ 上可积 $\}/\sim$.

例 $f\equiv 1\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)$.

例 $U\subset\mathbb{R}^n$ 有界, $C^0(U)\subset L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)$.

定理 $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)$, $\eta\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$, $\varphi=f*\eta$, 则

1. $\varphi\in C^\infin(\mathbb{R}^n)$;
2. $supp f\subset B_R^n(0)$, 则 $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$.

定义 令 $\omega(x)\in\mathcal{D}(B_1^n(0))$, $\omega>0$, $\int_{\mathbb{R}^n}=1$, 称 $\omega$ 为磨光核.

例 令 $a\in(0,1)$, 定义

$$\omega(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\frac{1}{a-|x|^2}},\quad |x|<a\\0,\quad |x|>a\end{cases}$$

取 $\lambda$ s.t. $\int_{\mathbb{R}^n}\omega(x)=1$, 令 $\omega_\epsilon(x)=\frac{\omega(x/\epsilon)}{\epsilon^n}$, 有 $\omega_\epsilon$ 为磨光核, 并且

1. 设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$, 则 $f*\omega_\epsilon \overset{L^p}{\to} f$, $p\in[1,+\infin)$;
2. 设 $f\in C^0(\mathbb{R}^n)$, 则 $f*\omega_\epsilon \overset{内闭}{\rightrightarrows} f$;
3. 设 $f\in C^1(\mathbb{R}^n)$, 则 $f*\omega_\epsilon \overset{内闭, C^1}{\to} f$.

例 令 $E$ 为紧集, $E\subset U$, $U$ 为有界开集, 则 $\exists\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$, s.t. $\varphi|_E=1$, $\varphi|_{U^c}=0$.

$C^0$ 情形

引理 $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)$, 则

$$|f_\epsilon(x_0)-f(x_0)|\leq||f(x)-f(x_0)||_{L^\infin (B_\epsilon(x_0))}$$

定理 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中区域, $f\in C^0(\Omega)$, 令 $f_\epsilon=(f\chi_\Omega)*\omega_\epsilon$, 则 $f_\epsilon$ 内闭一致收敛到 $f$.

例 $f\in C^0(\overline{B_R(0)})$, 则存在 $f_k\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$, s.t. $f_k$ 在 $\overline{B_R(0)}$ 上一致收敛到 $f$.

$C^k$ 情形

定理 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中区域, $f\in C^k(\bar{\Omega})$, 令 $f_\epsilon=(f\chi_\Omega)*\omega_\epsilon$, 则 $f_\epsilon$ 在 $\Omega$ 上 $C^k$ -光滑内闭一致收敛到 $f$.

$L^p$ 情形

定理 令 $f$ 是 $[0,+\infin]$ 上连续递增的下凸函数, $\omega$ 在 $E$ 上可测且 $\int_E\omega =1$, 则对于任一 $E$ 上非负可测函数 $\varphi$, 有

$$f(\int_E\varphi\omega)\leq\int_E f(\varphi)\omega$$

例 $f,g$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上非负可测且几乎处处有限时, 有

$$||f*g||_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leq||f||_{L^p(\mathbb{R}^n)}||g||_{L^1(\mathbb{R}^n)}$$

定理 对 $p\in(1,+\infin)$, $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$, 我们有

$$\lim_{\epsilon\to0}||f_\epsilon-f||_{L^p(\mathbb{R}^n)}=0$$

例 对任意的 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)\cap C^0(\mathbb{R}^n)$, 存在 $\varphi_k\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$, s.t. $\varphi_k$ 上内闭一致收敛到 $f$, 且在 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 中收敛到 $f$.

例 $\varphi$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中紧支可测, 设 $\varphi\in L^p(\mathbb{R}^n)$, $p> 2$, 则

$$F(x)=-\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^n}\log|x-y|\varphi(y)dy$$

可微; 进一步地若 $|\varphi(x)-\varphi(y)|<L|x-y|$, 则 $F$ 二阶可微.

4. 对偶

有限维空间的对偶空间

定义 $E$ 是 $n$ 维线性空间, $E^*$ 定义为 $E$ 上线性函数, 称为 $E$ 的对偶空间.
对 $\sigma,\tau\in E^*$, 定义 $(\sigma+\tau)(x)=\sigma(x)+\tau(x)$, $(\lambda\sigma)(x)=\lambda\sigma(x)$, 那么 $E^*$ 是线性空间, 对于 $x\in E$, 定义 $x(\sigma)=\sigma(x)$, 则 $x\in(E^*)^*$.

定理 $(E^*)^*\simeq E$.

Banach 空间的对偶

定义 设 $(X,||\cdot||)$ 是 Banach 空间, 令 $X^*$ 为 $X$ 上连续线性函数组成的空间, 称 $X^*$ 是 $X$ 的对偶空间.

引理 令 $\sigma$ 是 $X$ 上线性函数, 则以下叙述等价:

1. $\sigma$ 连续;
2. $\sigma$ 在 $0$ 连续, i.e. $\forall x_k\to0$, $\sigma(x_k)\to\sigma(0)=0$;
3. $\exists M>0$, s.t. $|\sigma(x)|\leq M||x||$;
4. $\sum_{x\neq 0}\frac{\sigma(x)}{||x||}<+\infin$.

定义 对 $\sigma\in X^*$, 定义

$$||\sigma||^*=\sup_{x\neq0}\frac{|\sigma(x)|}{||x||}=\sup_{||x||=1}|\sigma(x)|$$

定理 $(X^*,||\cdot||^*)$ 是 Banach 空间.

$L^p(E)$ 的对偶

定理 记 $\sigma_f(g)=\int_E fg$, 当 $p,q\in[1,+\infin]$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 时, 对 $\forall f\in L^q(E)$, 有 $||\sigma_f||_{(L^p(E))^*}=||f||_{L^q(E)}$.

定理 $p\in[1,+\infin)$ 时, $\phi: L^q(E)\to (L^p(E))^*,\quad f\mapsto \sigma_f$ 是等距同构.

5. $L^2(E)$

引言

取 $\langle f,g\rangle=\int_E fg$ 为内积.

引理 当 $f_k\overset{L^2(E)}{\to} f$, $g_k\overset{L^2(E)}{\to} g$, 有 $\langle f_k,g_k\rangle\to\langle f,g\rangle$.

标准正交集

定义 令 $\Lambda=\{e_i:i\in I\}$, 称 $\Lambda$ 是标准正交集, 如果

$$\langle e_i,e_j\rangle=\begin{cases}1,\quad i=j\\0,\quad i\neq j\end{cases}$$

例 $\{\frac{\sin kx}{\sqrt{2}},\frac{\cos kx}{\sqrt{2}}:k=1,\cdots\}$ 是 $L^2([0,2\pi])$ 上正交集.

引理 $\Lambda$ 是至多可列集, 其中元素线性无关.

Span

引理 $\sum_{i=1}^k a_ie_i$ 在 $L^2(E)$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $\sum_{i=1}^{+\infin}a_i^2<+\infin$. 此时定义

$$\sum_{i=1}^{+\infin}a_ie_i=\lim_{k\to+\infin}\sum_{i=1}^k a_ie_i$$

定义 令 $\Lambda=\{e_1,e_2,\cdots\}$ 是正交集, 定义 $Span(\Lambda)=\{\sum_{i=1}^{+\infin} a_ie_i:\sum_{i=1}^{+\infin}(a_i)^2<+\infin\}$.

引理 $f=\sum_{i=1}^{+\infin}a_ie_i,g=\sum_{i=1}^{+\infin}b_ie_i\in Span(\Lambda)$ 时有

$$\langle f,g\rangle=\sum_{i=1}^{+\infin}a_ib_i$$

例 $f\in L^2(E)$, 则 $f\perp Span(\Lambda)$ $\Leftrightarrow$ $\langle f,e_i\rangle=0$ $\forall i$.

定义 $f$ 到 $Span(\Lambda)$ 的投影

$$p(f)=\sum_{i=1}^{+\infin}\langle f,e_i\rangle e_i$$

引理 对于 $p(f)$,

1. $p(f)\in Span(f)$ 且 $||p(f)||\leq||f||$;
2. $f-p(f)\perp Span(\Lambda)$;
3. $||f-p(f)||=\inf\{||\varphi-f||:\varphi\in Span(\Lambda)\}$.

命题 $f\in Span(\Lambda)$ $\Leftrightarrow$ $p(f)=f$; $f\perp Span(\Lambda)$ $\Leftrightarrow$ $p(f)=0$.

命题 $Span(\Lambda)$ 和 $Span(\Lambda)^\perp$ 是闭子空间, 且

$$Span(\Lambda)=\overline{\left\{\sum_{i=1}^k a_ie_i:a_i\in\mathbb{R},k\in \mathbb{Z}^+\right\}}$$

推论 $L^2(E)=Span(\Lambda)\oplus Span(\Lambda)^\perp$.

闭子空间与标准正交基

定理 令 $H$ 是 $L^2(E)$ 闭子空间, 则存在正交集 $\Lambda$, s.t. $H=Span(\Lambda)$, 此时称 $\Lambda$ 是 $H$ 的标准正交集.

推论 令 $H$ 是 $L^2(E)$ 的闭子空间, 则

1. 对 $\forall f\in L^2(E)$, 存在唯一的 $p(f)\in H$, s.t.

$$f-p(f)\perp H,\quad ||f-p(f)||=d(f,H)$$

2. $L^2(E)=H\oplus H^\perp$, $f=p(f)+(f-p(f))$;
3. 令 $\Lambda=\{e_1,e_2,\cdots\}$ 是 $L^2(E)$ 基, 则 $\forall f=\sum a_ie_i$, $g=\sum b_ie_i$, 有

$$\langle f,g\rangle=\sum_{i=1}^{+\infin}a_ib_i$$

4. $\forall f\in L^2(E)$, $p(f)=\sum_{i=1}^{+\infin}\langle f,e_i\rangle e_i$.

定义 $l^2(\mathbb{R})=\{(a_1,a_2,\cdots):a_i\in\mathbb{R},\sum_{i=1}^{+\infin}a_i^2<+\infin\}$, $\langle(a_1,a_2,\cdots),(b_1,b_2,\cdots)\rangle=\sum_{i=1}^{+\infin}a_ib_i$, 那么 $l^2(\mathbb{R})$ 是 Hilbert 空间.

性质 取坐标给出同构 $L^2(E)\simeq l^2(\mathbb{R})$, $\sum_{i=1}^{+\infin}a_ie_i\mapsto (a_1,a_2,\cdots)$.

例 $\Lambda=\{\frac{1}{2\pi},\frac{\cos k\pi}{\sqrt{\pi}},\frac{\sin k\pi}{\sqrt{\pi}}:k\in\mathbb{Z}\}$ 是 $L^2([-\pi,\pi])$ 正交基.

对偶

定理 $(L^2(E))^*=L^2(E)$, 即 $\forall \sigma\in (L^2(E))^*$, 存在唯一的 $f$ s.t. $\forall g$, 有 $\sigma(g)=\langle f,g\rangle$.

*Sobolev 空间

定义 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中区域, $f\in L^p(\Omega)$, 称 $f$ 有 $L^p$ 弱导数, 如果 $\exists g_i\in L^p(\Omega)$ s.t.

$$\int_\Omega f\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}=-\int_\Omega g_i\varphi,\quad\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)$$

令 $W^{1,p}(\Omega)=\{f\in L^p,\frac{\partial f}{\partial x_i}\in L^p\}$, 称作 Sobolev 空间.

性质 $W^{1,p}(\Omega)$ 是 Banach 空间, $W^{1,2}(\Omega)$ 是 Hilbert 空间, $W^{1,p}(\Omega)$ 是 $(L^p)^{n+1}$ 闭子空间.

定理 (Poincaré 不等式) 定义 $W_0^{1,2}=\{u\in W^{1,2}:u|_{\partial \Omega}=0\}$, $\Omega$ 有界, 则

$$\int_\Omega u^2\leq C\int_\Omega|\nabla u|^2,\quad \forall u\in W_0^{1,2}(\Omega)$$

定理 (Riesz 定理) $(W_0^{1,2})^*=W_0^{1,2}$.